¿Otro teorema del tipo Complemento-Clausura de Kuratowski?

Continuando con la entrada anterior, podríamos hacer algo parecido con el interior y la adherencia.   Dado un conjunto $A\subset X$ de un espacio topológico $(X,\tau)$, denoto $i(A)=int(A)$ y  $a(A)=\overline{A}$. De nuevo escribiremos $iaa(A)$ al conjunto $int(\overline{\overline{A}})$.

Hacemos ahora todas las combinaciones con $i$ y $a$, es decir, conjuntos de la forma $iaiiaaia(A)$. ¿Cuántos conjuntos diferentes podemos obtener?

De nuevo, tenemos dos restricciones: $ii=i$ y $aa=a$. Recordar que en el teorema de Kuratowski había una tercera más. Por tanto, en todas las expresiones posibles no podemos poner dos letras $i$ seguidas ni dos $a$ juntas. Por tanto, serán expresiones de la forma $iaiaiai$, $iaiaiaiaia$ o $aiaia$.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ con la topología usual, tomamos $A=[0,1)$. Si empezamos por $i$ obtenemos $\{A,(0,1),[0,1]\}$. Si empezamos con $a$, tenemos $\{A,[0,1],(0,1)\}$. En este caso tenemos 3 conjuntos.

Tomo otro: $A=[0,1)\cup(1,2]$. Empezando por $i$, tenemos $\{A,(0,1)\cup (1,2),[0,2],(0,2)\}$, es decir, 4 conjuntos.

¿Podéis resolver el problema?

El teorema complemento-clausura de Kuratowski

Como ya hemos visto en las últimas entradas, Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico a través de una aplicación $f:P(X)\rightarrow P(X)$ con unas propiedades de forma que los conjuntos cerrados eran, por definición, aquéllos $A\subset X$ tales que $f(A)=A$. Justamente las propiedades de la aplicación $f$ son las de la adherencia que ya conocemos en un espacio topológico.

Kuratowski planteó el siguiente problema. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $(X,\tau)$ ¿cuántos conjuntos diferentes pueden obtenerse de $A$ cuando tomo adherencias y complementarios en el orden y veces que uno quiera?

Para que nos aclaremos con el problema, introducimos la siguiente notación de las dos operaciones. Dado un conjunto $A\subset X$, denoto $a(A)=\overline{A}$ y $b(A)=X-A$. Cuando escriba, por ejemplo, $aab(A)$, esto quiere decir que primero hacemos $b$, luego $a$ y finalmente $a$, es decir, el orden de las operaciones viene dado por la 'cercanía' al símbolo $A$. Así,
$$aab(A)=X-(X-\overline{A}),\ baba(A)=X-\overline{X-\overline{A}}.$$
¡Esto es un juego! El problema en cuestión también aparece en el libro de  Munkres, 'Topology I' y en el de Kelley 'General Topology', Van Nostrand. página 57 (podéis visualizar esta página en internet si buscáis este libro).

Pero sabemos algunas propiedades de las operaciones $a$ y $b$. Así, $aa(A)=A$ y $bb(A)=A$. El resultado que probó Kuratowski es el siguiente:

Teorema. Como mucho hay 14 conjuntos diferentes. Adémás, existen conjuntos donde se alcanza la igualdad. 

Las operaciones concretas son la siguientes:$$\{id,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa, babab,ababab,bababa,bababab\}$$Un ejemplo de un conjunto donde se tienen exactamente los 14 conjuntos es $$A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap\mathbb{Q})$$ en la recta euclídea $\mathbb{R}$.

Podéis ver demostraciones en:
http://www.math.cornell.edu/~riley/Teaching/Topology2009/essays/Strabel.pdf
http://abhishekparab.files.wordpress.com/2010/10/kuratowski_closure_complement_problem.pdf

Recordando a Kuratowski (II)

De la misma forma que en la entrada anterior, podemos trabajar con adherencias y cerrados.

TEOREMA. Sea $X$ y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(\emptyset)=\emptyset$,
2. $A\subset f(A), \forall A\subset X$,
3. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $\overline{A}=f(A), \forall A\subset X$.

Concretamente, fue así como Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico.

Tenemos ahora dos formas de probar el teorema. La primera es, de forma análoga a la entrada anterior, definir la familia de cerrados como aquellos conjuntos $A$ tales que $f(A)=A$.

La segunda es pasar por el resultado de la entrada anterior. Como sabemos que en un espacio topológico,
$int(A)=X-\overline{X-A}$, definimos $g: P(X)\rightarrow P(X)$ mediante $$g(A)=X-f(X-A).$$Quedaría por probar que $g$ satisface las propiedades de la entrada anterior (para ello hay que usar las que tiene $f$). Una vez esto, $int(A)=g(A)$ y por tanto,  usando la definición de $g$, concluimos
$$\overline{A}=X-int(X-A)=X-g(X-A)= X-(X-f(A))=f(A).$$

Rercordando a Kuratowski

A continuación introducimos el concepto de espacio topológico siguiendo ideas de Kuratowski. La idea es tomar las propiedades del interior de un conjunto. Así tenemos el siguiente resultado:

Sea $X$ un conjunto y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(X)=X$,
2. $f(A)\subset A, \forall A\subset X$,
3. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $int(A)=f(A), \forall A\subset X$.

Nos damos cuenta que justamente la aplicación $f$ tiene las mismas propiedades que la operación interior en un espacio topológico. Evidentemente, la familia $\tau$ se define como aquellos conjuntos $O\subset X$ que satisfacen $f(O)=O$. Os dejo como ejercicio probar que $\tau$ es, efectivamente, una topología en $X$.

Queda por probar que  $int(A)=f(A)$. Por la propiedad 4) y la definición de $\tau$, $f(A)$ es un conjunto abierto. Además, por la propiedad 2), $f(A)\subset A$. Por tanto, $f(A)\subset int(A)$ ya que $int(A)$ es el conjunto abierto más grande incluido en $A$. Por otro lado, como $int(A)\subset A$, $f(int(A))\subset f(A)$. Como $int(A)$ es un abierto, $f(int(A))=int(A)$, luego $int(A)\subset f(A)$, teniendo ya la otra inclusión.