Rercordando a Kuratowski

A continuación introducimos el concepto de espacio topológico siguiendo ideas de Kuratowski. La idea es tomar las propiedades del interior de un conjunto. Así tenemos el siguiente resultado:

Sea $X$ un conjunto y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(X)=X$,
2. $f(A)\subset A, \forall A\subset X$,
3. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $int(A)=f(A), \forall A\subset X$.

Nos damos cuenta que justamente la aplicación $f$ tiene las mismas propiedades que la operación interior en un espacio topológico. Evidentemente, la familia $\tau$ se define como aquellos conjuntos $O\subset X$ que satisfacen $f(O)=O$. Os dejo como ejercicio probar que $\tau$ es, efectivamente, una topología en $X$.

Queda por probar que  $int(A)=f(A)$. Por la propiedad 4) y la definición de $\tau$, $f(A)$ es un conjunto abierto. Además, por la propiedad 2), $f(A)\subset A$. Por tanto, $f(A)\subset int(A)$ ya que $int(A)$ es el conjunto abierto más grande incluido en $A$. Por otro lado, como $int(A)\subset A$, $f(int(A))\subset f(A)$. Como $int(A)$ es un abierto, $f(int(A))=int(A)$, luego $int(A)\subset f(A)$, teniendo ya la otra inclusión.