La recta proyectiva

En el vídeo 

se puede ver una demostración de que la recta proyectiva es homeomorfa a la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente

Tenemos varios ejemplos de espacios topológicos que son homeomorfos a subconjuntos suyos, éstos con la topología inducida. Por ejemplo, todo subconjunto de un espacio discreto tiene la topología discreta. Por tanto, para buscar un ejemplo, basta con que el conjunto sea biyectivo con el subconjunto. Por ejemplo, $({\mathbb N},\tau_D)$ es homeomorfo a $(\{2n:n\in{\mathbb N}\},\tau_D)$.

Volviendo a un caso más 'cercano', sabemos que $(0,1)$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$ con las topologías usuales. Nos planteamos el problema con la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Si $A\varsubsetneq {\mathbb S}^1$ y $A\cong {\mathbb S}^1$, entonces $A$ es un conjunto conexo y compacto. Como la inclusión es estricta, podemos suponer que $A\subset {\mathbb S}^1\setminus\{p\}$, para un cierto punto $p$. Como ${\mathbb S}^1\setminus\{p\}\cong{\mathbb R}$, entonces $A$ es homeomorfo a un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$. Sin embargo, $[a,b]$ no puede ser homeomorfo a ${\mathbb S}^1$, ya que entonces $(a,b)$ (que es conexo) sería homeomorfo a ${\mathbb S}^1$ menos dos puntos, es decir, a ${\mathbb R}$ menos un punto, que no es conexo.

Concluimos que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ningún subconjunto suyo.