Sea $X$ un conjunto con dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si las dos topologías son compactas, la intersección $\tau_1\cap \tau_2$ también lo es: dado un recubrimiento $\{O_i: i\in I\}$ de $X$ por abiertos de $\tau_1\cap \tau_2$, los conjuntos $O_i$ son elementos de $\tau_1$ y de $\tau_2$, luego existe un subrecubrimiento finito. En verdad, sólo hace falta que una topología sea compacta.
A continuación pongo un ejemplo de que la intersección de dos topologías no compactas es compacta. Consideramos $X=\mathbb{R}$ la recta real y $\tau_1$, $\tau_2$ las topologías a derechas e izquierdas, respectivamente. Ninguna de ellas es compacta. Así, y para $\tau_1$, tenemos el siguiente recubrimiento por abiertos:
$${\mathbb R}=\cup_{x\in {\mathbb R}} [x,\infty).$$
Sin embargo, si hubiera un recubrimiento finito, se tendría:
$${\mathbb R}=\cup_{i=1}^n\ [x_i,\infty)=[\min\{x_1,\ldots,x_n\},\infty),$$
y ${\mathbb R}$ estaría acotado inferiormente.
A continuación pongo un ejemplo de que la intersección de dos topologías no compactas es compacta. Consideramos $X=\mathbb{R}$ la recta real y $\tau_1$, $\tau_2$ las topologías a derechas e izquierdas, respectivamente. Ninguna de ellas es compacta. Así, y para $\tau_1$, tenemos el siguiente recubrimiento por abiertos:
$${\mathbb R}=\cup_{x\in {\mathbb R}} [x,\infty).$$
Sin embargo, si hubiera un recubrimiento finito, se tendría:
$${\mathbb R}=\cup_{i=1}^n\ [x_i,\infty)=[\min\{x_1,\ldots,x_n\},\infty),$$
y ${\mathbb R}$ estaría acotado inferiormente.
Calculamos ahora $\tau_1\cap \tau_2$. Si $O\in\tau_1\cap\tau_2$ y no es trivial, entonces $O$ debe contener a un conjunto del tipo $[x,\infty)$ y otro de la forma $(-\infty,y]$ y esto daría que $O={\mathbb R}$. Por tanto, $O$ tiene que ser trivial, es decir,
$$\tau_1\cap \tau_2=\{\emptyset,{\mathbb R}\}.$$Como es una topología finita, es compacta.
