Identificaciones y homotopías en espacios cocientes

En la entrada anterior quedó por probar que $F'$ es una homotopía. En este caso, el dominio de $F'$ es un espacio cociente. Es natural pensar que $F'$ será continua si y sólo si $F'\circ (p\times 1_{I})$ es continua. Sin embargo esto no es trivial y para ello se usa de manera importante que $I$ es compacto. Probamos el siguiente resultado, el cual nos responde al problema planteado. Reemplazamos $I$ por un espacio localmente compacto y Hausdorff, aunque usaremos las notación $I$. 

Teorema. Si $f\colon X\to Y$ es una identificación, entonces $f\times 1_I$ es una identificación.

Demostración.  Es suficiente probar que $g:Y\times I\to Z$ es continua si y sólo si $h=g\circ (f\times 1_I)$ es continua. Por tanto, supongamos que $h$ es continua y probamos que $g$ también lo es. Sea $(y_0,t_0)\in Y\times I$ y $V$ un entorno abierto de $g(y_0,t_0)$. Sea $f(x_0)=y_0$ ($f$ es sobreyectiva). Ya que $h$ es continua e $I$ es localmente compacto, existen entornos $U$ de $x_0$ y $W$ entorno compacto de $t_0$ tal que $h(U\times W)\subset V$. Sea $$O'=\{y\in Y: g(\{y\}\times W)\subset V\}.$$Este conjunto contiene a $y_0$ y evidentemente $g(O')\subset W$. Faltaría por probar que $O'$ es abierto. Ya que $f$ es una identificación, es equivalente a probar que $f^{-1}(O')$ es abierto en $X$. Obsérvese que $$f^{-1}(O')=\{x\in X:g(f(x)\times U)\subset V\}.$$ Pero su complementario es $$X-f^{-1}(O')=p_X((X\times W)\cap h^{-1}(Z-V)).$$ Este es conjunto es cerrado, donde $p_X\colon X\times Y\to X$ es la primera proyección. Aquí se usa que $W$ es compacto, luego es cerrado, y también $X\times W$. Esto es consecuencia a que lo que hay en el paréntesis es cerrado, y por otro al siguiente resultado conocido de espacios compactos: "si $Y$ es compacto, entonces $p_X\colon X\times Y\to X$ es una aplicación cerrada".

Volviendo al origen, es decir, a la entrada anterior y a la prueba de que $F'$ es continua, la aplicación $p\times 1_I$ es una identificación porque $p$ lo es y usamos el teorema anteriormente probado. Por otro lado, ya que es una identificación, $F'$ es continua si y sólo si $F'\circ (p\times 1_I)$ es continua, y esto fue lo que se probó en la entrada anterior. 

i y sólo si $(f\times 1_I)\circ (p\times 1_I) (se puede reemplazar $I$ por un espacio localmente com

Probando que los intervalos son conexos usando compacidad

Vamos a probar que los intervalos de ${\mathbb R}$ son los únicos conjuntos conexos de  ${\mathbb R}$ usando el concepto de compacidad. En primer lugar, ya sabíamos que un conjunto conexo de ${\mathbb R}$ tiene que ser un intervalo. Por otro lado, es trivial que el conjunto vacío y los conjuntos formados por un punto, es decir, los intervalos cerrados de la forma $[x,x]$ son conexos. 

El resultado de compacidad que vamos a utilizar es que dados dos conjuntos compactos $A$ y $B$ de ${\mathbb R}$, la distancia se alcanza en dos puntos, es decir, existen $a\in A$ y $b\in B$ tal que  $d(a,b)=d(A,B)$ donde  $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,b\in B\}$. También vamos a usar que los intervalos cerrados y acotados son compactos por el teorema de Heine-Borel. La prueba de que los intervalos son conexos la hacemos caso por caso.

En primer lugar, veamos que $[0,1]$ es conexo. Si $\{A,B\}$ es una partición por abiertos, también lo es por cerrados, y al ser cerrados de un compacto, $A$ y $B$ son compactos. Sean $a\in A$ y $b\in B$ tales que $d(a,b)=d(A,B)$. Ya $A\cap B=\emptyset$, este número debe ser positivo porque en caso contrario, $a\in   \overline{B}=B$. Sea  $c=(a+b)/2$. Entonces   $|c-a|=|(a-b)/2| < |a-b|$ lo que dice que  $c\not\in B$; y del mismo modo, tenemos  $c\not\in A$. Esto es una contradición porque $c$ se encuentra entre $a$ y $b$ y $[0,1]$ es un intervalo.

Una vez probado que $[0,1]$ es conexo, para los otros casos el razonamiento es fácil, pues
$$[0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[0,1-\frac{1}{n+1}],\ \ (0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[\frac{1}{n+1}, 1-\frac{1}{n+1}],$$
escribiendo ambos conjuntos como unión de conexos (intervalos cerrados y acotados) cuya intersección es no vacía.

Tres espacios no homeomorfos entre sí

En el examen de febrero pregunté por tres espacios que no son  homeomorfos entre sí. Dichos espacios son subconjuntos del plano euclídeo: $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$,  $B=A-\{(1,0)\}$ y $C={\mathbb S}^1$. Se preguntaba que cualquier par de dichos espacios no son homeomorfos. Para ello se usa conexión y compacidad.

1. $A$ es compacto por ser cerrado y acotado. Es cerrado ya que $A=f^{-1}([0,1])$ donde $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$ es la aplicación continua $f(x,y)=x^2+y^2$.
2. $B$ no es compacto ya que no es cerrado, pues su adherencia es $A$: toda bola centrada en $(1,0)$ interseca a $B$.
3. $C$ es compacto por ser acotado y cerrado: es cerrado ya que $C=f^{-1}(\{1\})$.

Por tanto, sólo queda distinguir $A$ de $C$. Supongamos que $\phi:A\rightarrow {\mathbb S}^{-1}$ es un homeomorfismo. Entonces si $p,q\in A$, $A-\{p,q\}\cong {\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$. Por un lado, ${\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$ no es conexo, ya que ${\mathbb S}^1-\{\phi(p)\}$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$, luego al quitarle otro punto, no es conexo. Sin embargo $A-\{p,q\}$ es conexo. Para ello hay varios razonamientos, pero si tomamos $p,q$ en el borde de $A$, por ejemplo, $p=(1,0)$ y $q=-p$, entonces $A-\{p,q\}$ es un conjunto convexo y por tanto, es conexo.

La intersección de topologías y compacidad

Sea $X$ un conjunto con dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si las dos topologías son compactas, la intersección $\tau_1\cap \tau_2$ también lo es: dado un recubrimiento $\{O_i: i\in I\}$ de $X$ por abiertos de $\tau_1\cap \tau_2$, los conjuntos $O_i$ son elementos de $\tau_1$  y de $\tau_2$, luego existe un subrecubrimiento finito. En verdad, sólo hace falta que una topología sea compacta.

A continuación pongo un ejemplo de que la intersección de dos topologías no compactas es compacta. Consideramos $X=\mathbb{R}$ la recta real y $\tau_1$, $\tau_2$ las topologías a derechas e izquierdas, respectivamente. Ninguna de ellas es compacta. Así, y para $\tau_1$, tenemos el siguiente recubrimiento por abiertos:
$${\mathbb R}=\cup_{x\in {\mathbb R}} [x,\infty).$$
Sin embargo, si hubiera un recubrimiento finito, se tendría:
$${\mathbb R}=\cup_{i=1}^n\ [x_i,\infty)=[\min\{x_1,\ldots,x_n\},\infty),$$
y ${\mathbb R}$ estaría acotado inferiormente.

Calculamos ahora $\tau_1\cap \tau_2$. Si $O\in\tau_1\cap\tau_2$ y no es trivial, entonces $O$ debe contener a un conjunto del tipo $[x,\infty)$ y otro de la forma $(-\infty,y]$ y esto daría que $O={\mathbb R}$. Por tanto, $O$ tiene que ser trivial, es decir,
$$\tau_1\cap \tau_2=\{\emptyset,{\mathbb R}\}.$$Como es una topología finita, es compacta.

Adherencia y compacidad

La adherencia de un compacto no es compacto

En el examen de febrero apareció un ejemplo de un subconjunto compacto cuya adherencia no lo es. Para ello tomamos el  espacio topológico $(X,\tau)$, donde $X=[0,2]$ y $\tau=\{O\subset X: (0,1)\subset O\}\cup\{\emptyset\}$. Esta topología la hemos llamado la del 'conjunto incluido', ya que todos los abiertos contienen al subconjunto $A=(0,1)$.

El conjunto $A$ es compacto, ya que dado un recubrimiento por abiertos de $A$, cualquier abierto de dicho recubrimiento ya recubre $A$ por la propia definición de $\tau$.

La adherencia de $A$ es $X$: $\overline{A}=[0,2]$. Una base de entornos de cada punto $x\in X$ es $\beta_x=\{U_x:=\{x\}\cup A\}$. Por tanto, $U_x\cap A\not=\emptyset$.

Sin embargo, $\overline{A}=[0,2]$ no es compacto. Un recubrimiento de $[0,2]$ es $\{U_x:x\in  [0,2]\}$, y si hubiera un recubrimiento finito, a saber, $[0,2]=U_{x_1}\cup\ldots\cup U_{x_n}$, entonces $[0,2]=A\cup\{x_1,\ldots,x_n\}$, lo cual es falso.

Un matiz sobre compacidad

En el concepto de compacidad para subconjuntos de un espacio topológico, uno puede usar abiertos de dicho subconjunto (abiertos relativos) o abiertos del espacio ambiente. Concretamente.

Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico y $A\subset X$, entonces se dice (¡definición!) que $A$ es compacto si el espacio $(A,\tau_A)$ es compacto. Por tanto, al hacer ejercicios para estudiar si un subconjunto es compacto, si se quiere hacerlos usando la definición, hay que coger recubrimientos por abiertos relativos de A.

Sin embargo hay una caracterización de subconjuntos compactos usando abiertos de $(X,\tau)$. Así $A$ es compacto si y sólo si, para cualquier recubrimiento de $A$ por abiertos de $X$ (¡elementos de $\tau$!), entonces existe un subrecubrimiento finito.


En el ejemplo de hoy ha aparecido ambas cosas. El ejercicio decía que en un espacio topológico, la unión de dos subconjuntos compactos $A$ y $B$ también es compacto. Hay dos formas de probarlo:

1. Por definición. Para ello hay que tomar un recubrimiento por abiertos relativos de $A\cup B$. Ese mismo recubrimiento es un recubrimiento de $A$, ya que $A\subset A\cup B$. Como $A$ es compacto, usando la caracterización de compacidad y la transitividad de las topologías relativas, se tiene que un subrecubrimiento finito de $A$. Lo mismo se hace con $B$, y la unión de esos dos recubrimientos (que tiene que ser finito), es el recubrimiento finito buscado para $A\cup B$ (hay que seguir trabajando un poquito más aquí).

2. Por la caracterización de compacidad. Tomamos un recubrimiento de $A\cup B$ por abiertos de $X$. Ya que $A\subset A\cup B$, entonces ese mismo recubrimiento es uno de $A$ por abiertos de $X$. Por tanto, por la caracterización, existe uno finito. Lo mismo se hace para $B$, y la unión de ambos recubrimientos finitos es un recubrimiento finito de $A\cup B$ por abiertos de $X$ (ahora no hay que trabajar más).

Parece lo mismo, pero no lo es: un pequeño matiz...

Un cociente no compacto de R

Tomamos en R la relación de equivalencia R que identifica todos los números enteros Z. Se puede probar que el conjunto cociente R/R no es compacto

Sin embargo, podemos pensar el cociente como si cogiéramos la recta real y fuéramos pegando todos los números enteros.

En la figura, los números enteros se pegan en el punto p, y cada segmento entre un entero n y el siguiente n+1, se dobla como si fuera una circunferencia. Podemos tomar estos círculos en un cuadrado para que el conjunto total sea acotado, y como es cerrado, entonces es compacto.

Está claro que por compacidad, R/R no puede ser homeomorfo a dicha figura, entonces ¿en qué falla nuestra intuición?

Se puede usar el concepto de saturación

Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.

La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.

Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:

1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.

2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.

En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.

A veces, un punto determina la compacidad

A raíz del examen de ayer, voy a escribir un tipo de espacios topológicos que han salido varias veces, pero ahora vamos a poner el "teorema". Son aquéllos en los que un punto nos dice que el espacio ya es compacto. Concretamente, en un espacio topológico en el que existe un punto $p$ de forma que el único entorno de dicho punto es el propio espacio, entonces el espacio es compacto. Esto es evidente, pues dado un recubrimiento por abiertos, habrá un abierto que contenga a dicho punto $p$. Pero el único abierto que lo contiene es todo el espacio, y por tanto éste nos da el subrecubrimiento finito.

Ejemplos de espacios topológicos con esta propiedad P son los siguientes:

• El espacio topológico trivial: todo punto satisface la propiedad P.
• La topología del punto excluido: el punto que se excluye satisface P.
• En el conjunto de los números naturales con la topología que tiene por abiertos los conjuntos A_n=\{n,n+1,...\}. El punto es $p=1$.
• En el intervalo $X=[0,1]$ con la topología cuyos abiertos son, aparte de los triviales, los conjuntos de la forma, $[0,a)$. El punto es $p=1$.

La compacidad del 73

Ya he comentado varias veces en clase el libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach. Ver también http://topologia-i.blogspot.com/2009/03/separacion-algunos-ejemplos.html
Aparecen 143 espacios topológicos a los cuales se les estudia si satisfacen o no propiedades topológicas, poniendo en una (gran) tabla de dos entradas, por un lado el espacio topológico, y en el otro, la propiedad. Ponen 1 si la satisface y 0 si no: ver las páginas 170 a 179.
Como estamos ahora con la compacidad, me fijo en el número 73, el que llaman "Telophase topology". El espacio es el siguiente. Sea $X=[0,1]\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X. La topología T se define por bases de entornos. Para los puntos de $[0,1]$, la base es la de la topología usual. Y para el punto p es la formado por los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$, donde a está en $[0,1)$. Puede probarse que una base $\beta$ es la formada por los de la base usual en $[0,1]$ junto los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$.
También es obvio que la topología inducida en $[0,1]$ es la topología usual, es decir, $T_{[0,1]}=\tau_u$.
En el libro, para la compacidad del 73 ponen 1. Efectivamente, el espacio es compacto. Tomamos un recubrimiento por elementos de la base $\beta$ del espacio. Uno de ellos, debe contener al punto p, luego ése es de la forma $O=(a,1)\cup\{p\}$ para algún $a\in[0,1]$. El resto de abiertos recubre el conjunto $[0,a]$, que es compacto: ¡la topología inducida en $[0,a]$ por $T$ coincide con la usual!, y sabemos que $[0,a]$ es compacto. Por tanto, existirá un subrecubrimiento finito. Si a ese recubrimiento le añadimos $O$, hemos acabado.
Dejo la pregunta sobre la compacidad local ¿es Hausdorff?

Compacidad, cerrados, Hausdorff

En clase se ha probado que en un espacio Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Si el espacio no es Hausdorff, no es cierto el resultado. Un ejemplo sencillo es tomar cualquier espacio topológico finito. Entonces todo conjunto es compacto, al ser finito, pero no todo conjunto es cerrado (a no ser que el espacio tenga la topología discreta). Otro ejemplo sería un conjunto con la topología de los complementos finitos. Se sabe que la topología inducida en todo subconjunto es de nuevo la topología cofinita, es decir, todo subconjunto es compacto. Sin embargo, si el conjunto no es finito, no es cerrado ¿Podéis encontrar más ejemplos?

La otra pregunta que dejo es la de encontrar espacios que no sean Hausdorff de forma que todo conjunto compacto sea cerrado.

Por cierto, Hausdorff fue un matemático alemán que vivió hasta los años cuarenta y con un triste final (http://personal.us.es/arias/TM/06-Hausdorff.pdf y http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hausdorff.html).

Más sobre compacidad

Sea un espacio topológico $(X,\tau)$ y $\beta=\emptyset\cup\{O\in \tau;X - O\mbox{ es compacto en }(X,\tau)\}$. Probar que beta es base de una topología $\tau'$ y que está incluida en$\tau$. Además $(X,\tau')$ es compacto.

Compacidad y adherencia

Probar que en un espacio Haussdorff, la adherencia de conjunto compacto también es compacto.

Poner un contraejemplo de que no es cierto el resultado si el espacio no es Haussdorff.

Compacidad y finitud

Ya hemos comentado en numerosas veces la confusión de pensar que un espacio compacto es aquél que tiene un recubrimiento finito por abiertos: el hecho importante es cuándo se puede obtener uno finito de cualquier recubrimiento por abiertos.

No hay, en principio, relación entre compacidad y el cardinal del espacio, o el cardinal de cada uno de los abiertos. Sólo el hecho (trivial) de que si el espacio es finito, entonces el espacio es compacto (en verdad, cuando la topología es finita).

Mostramos ejemplos de espacios topológicos, todos ellos teniendo el mismo conjunto, a saber, el conjunto de los números naturales N. Este conjunto es infinito, pero con el cardinal infinito más pequeño (ser numerable).

Con la topología discreta, hay muchos abiertos que son finitos (los conjuntos finitos). Hay recubrimientos por abiertos infinitos, por ejemplo, por conjuntos A_n, con A_n el conjunto de múltiplos de n. Este espacio no es compacto.

Con la topología cofinita, todos los abiertos son conjuntos infinitos. La clave aquí es que cualquier abierto es casi todo N, y el casi significa, salvo un conjunto finito. Por tanto, este espacio es compacto.

Con la topología del punto excluido (con p=1), hay infinitos abiertos (cualquier conjunto que no contenga a p). Por tanto hay finitos e infinitos. La clave aquí es que dado un recubrimiento, el abierto que contiene a p, es todo el espacio. Es decir, en todo recubrimiento abierto, forzosamente está todo N. Por tanto, este espacio es compacto.

Con la topología T dada por los conjuntos A_n=\{n,n+1,n+2,...\}. Todos los abiertos (que hay infinitos) son infinitos. Aquí pasa como con el ejemplo anterior, que dado un recubrimiento, a la fuerza tiene que estar el conjunto A_1. Este espacio es compacto.

La otra caracterización de compacidad

Se caracterizó un espacio compacto como aquél que satisface la siguiente propiedad: para cada familia de cerrados con intersección vacía, existe una subfamilia cuya intersección también es vacía. Ya se propuso en clase usar esta caracterización de compacidad para saber si un espacio es o no compacto. Propongo que se haga con espacios conocidos (o no). Empiezo yo.

1. La topología discreta: los cerrados son los subconjuntos. Entonces para cada x del conjunto, sea el cerrado F_x=X-\{x\}. Es evidente que la intersección de todos los F_x es vacía. Si el espacio fuera compacto, habría un número finito de F's con intersección vacía, es decir, \cap_{i=1,\ldots,n}F_{x_i}=\emptyset. Al tomar complementarios, X=\{x_1,\ldots,x_n\}, es decir, X debe ser finito.
2. La topología de los complementos finitos. Los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos. Sea F_i una familia de cerrados con intersección vacía, y sea F=\{x_1,\ldots,x_n\} uno cualquiera de ellos. Entonces x_1 no está en algún F_i: llamamos F^1 a dicho cerrado. Y así lo vamos haciendo para cada x_i. Entonces F\cap F^1\cap\ldots\cap F^n=\emptyset.

Continuad...

Compacidad y axiomas de separación

Se ha visto hoy en clase que un espacio Haussdorff y compacto es normal y regular. Propongo buscar ejemplos de:

1. espacios compactos y T_1 que no sean normales.
2. espacios compactos y T_1 que no sean regulares.
3. espacios normales y Haussdorff que no sean compactos.

Número de Lebesgue de un recubrimiento

Propongo como ejercicio para clase el lema del recubrimiento de Lebesgue: sea (X,d) un espacio métrico compacto y O_i un recubrimiento por abiertos de X. Entonces existe r>0 tal que para cada x de X, la bola B_r(x) se encuentra incluida en algún abierto O_i.

El número r se llama el número de Lebesgue del recubrimiento O_i.

Operaciones topológicas y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones topológicas?

1. ¿El interior de un compacto es compacto?
2. ¿La adherencia de un compacto es compacto?
3. ¿El exterior de un compacto es compacto?
4. ¿La frontera de un compacto es compacto?
   

Buscad ejemplos de que sí o de que no. Estudiad también si hay un resultado que diga, por ejemplo, "la adherencia de un conjunto compacto es compacto" y similares en los otros casos. También si hay que poner alguna hipótesis más para que sea cierto el resultado.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un espacio Haussdorff, la adherencia de un compacto es un conjunto compacto: evidente, ya que un compacto debe ser cerrado, luego coincide con su adherencia.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, si A es un conjunto compacto (es finito), entonces su interior, su adherencia y su frontera son compactos pero su exterior nunca es compacto: el interior y la adherencia de A es A, la frontera es el conjunto vacío y el exterior es el complementario de A.

Operaciones de conjuntos y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones de conjuntos?

1. ¿La intersección de compactos es compacto?
2. ¿La unión de compactos es compacto?
3. ¿El complementario de compacto es compacto?

Buscad ejemplos de que sí o de que no.

También ejemplos de espacios topológicos concretos donde SIEMPRE sea cierto o donde SIEMPRE no sea cierto.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un conjunto finito, todos los conjuntos son compactos. Luego la respuesta a las anteriores preguntas es SIEMPRE sí.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, la intersección de compacto siempre es compacto y la unión de compactos es siempre compacto. Y nunca el complementario de un compacto es compacto (suponemos que el conjunto es infinito, para no caer en el caso A)).

Compacidad y subconjuntos cerrados

En un espacio Haussdorff, los conjuntos compactos son cerrados. En clase hemos visto un ejemplo de un espacio (topología de los complementos finitos) cuyos compactos no son necesariamente cerrados.

1. ¿Hay más ejemplos de lo mismo?
2. ¿Hay ejemplos de espacios no Haussdorff donde todos los compactos son cerrados?
3. ¿Hay ejemplos de espacios donde todos los compactos (o algunos) son abiertos?