Diferentes topologías, mismo interior

Sea $X$ un conjunto con diferentes topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si $A\subset X$ es un subconjunto, su interior puede coincidir en $(X,\tau_1)$ y en $(X,\tau_2)$. Por ejemplo, el interior de $X$ es $X$  en con cualquier topología posible en $X$. Lo mismo pasa con $\emptyset$.

Si queremos irnos a otros subconjuntos $A$, podemos tomar $X=\mathbb{R}$. Sea $A=(0,\infty)$. El interior de este conjunto es $A$ considerando en $\mathbb{R}$:

• la topología discreta,
• la topología usual,
• la topología del punto incluido para $p=1$,
• la topología del conjunto incluido si dicho conjunto es $[1,2]$,
• la topología del punto excluido para $p=0$,
• la topología a derechas,
• la topología de Sorgenfrey,
• la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$.

Lo que no puede suceder es que el interior de todos los subconjuntos coincidan para dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$, ya que los conjuntos abiertos vienen caracterizados en términos del interior de un conjunto.

A veces las cosas son más sencillas

Con el título de esta entrada me quiero referir a que a veces, para probar que una familia de subconjuntos son abiertos, o son base de entornos, algunas propiedades son más fáciles de probar que como uno podía imaginarse. Algunos ejemplos ya han aparecido en clase. Voy a exponer dos de ellos.

En la prueba de que cierta familia es base de abiertos, la segunda propiedad dice: 'si $B_1$ y $B_2$ son elementos de $\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, entonces existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$'. A veces sucede que la intersección $B_1\cap B_2$ es ya un elemento de $\beta$, luego podemos tomar $B_3=B_1\cap B_2$. Así ocurre en la topología usual de $\mathbb{R}$. Ésta se definió como aquélla generada por la familia de intervalos abiertos acotados $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Aquí la intersección de dos intervalos abiertos es YA un intervalo abierto.

El segundo ejemplo que pongo es para base de entornos. La última propiedad que hay que probar es la siguiente: 'Sea $V\in\beta_x$. Entonces existe $_0\in\beta_x$ tal que si $y\in V_0$ entonces existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$'. A veces sucede que basta tomar $V_0=V$. El siguiente ejemplo es muestra de ello. Consideramos $\mathbb{R}$ y para cada $x\in\mathbb{R}$ asociamos $\beta_x=\{(x-\epsilon,x+2\epsilon);\epsilon > 0\}$. Tomamos un $V= (x-\epsilon,x+2\epsilon)$ y cojamos $V_0=V$. Si $y\in V_0$, definimos $V_y$ del siguiente modo. Sea $r > 0$ tal que $x-\epsilon < y-r < y+r < y+2\epsilon$. Sea $\delta=r/2$. Entonces $V_y=(y-\delta,y+2\delta)$ satisface $V_y\subset V$.

Muchos entornos, entornos pequeños

Una vez conocido el concepto de base de entornos, nos podemos dar cuenta que más importante que saber si un entornos es 'grande' o no, más interesantes es poder controlar su número. 

Una vez que se explique el concepto de aplicación continua, se podrá intuir mejor que la idea de entorno se refiere a la 'cercanía' alrededor de un punto. Cuando uno tiene un entorno $U$ de $x$, cualquier conjunto que contenga a $U$ también es entorno de $x$. Por tanto, hay 'muchos' entornos. Otra cosa diferente es si un entorno es grande a cuanto 'tamaño'.

Espero que el siguiente ejemplo aclare estas ideas. Tomamos $\mathbb{R}$ con la topología a derechas. Una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}$, es decir, la base SÓLO tiene un elemento. Sin embargo, $[x,\infty)$ es 'grande' si uno compara con otros conjuntos que contenga a $x$ pero que no son entornos, como sucede por ejemplo con el intervalo $(x-1,x+1)$.

Comparando base de abiertos y base de entornos

Quiero comparar las definiciones de 'base de abiertos' y 'base de entornos'. Recuerdo ambos conceptos. 

•  Una familia $\beta$ es base de abiertos si es una familia de abiertos de forma que todo abierto es entorno de elementos de $\beta$. 
• (*) Por otro lado, una base de entornos de $x$ es una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ de forma que dado un entorno $U$ de $x$, existe $V\in\beta_x$ tal que $V\subset U$.

Podemos observar que son diferentes en el sentido en que para base de abiertos, todo abierto se 'construye' a base de elementos de $\beta$ mientras que para base de entornos usamos la inclusión de conjuntos. Sin embargo, recuerdo que ya se caracterizó el concepto de base de abiertos del siguiente modo: una familia de abiertos $\beta$ es base de abiertos si para cada $O\in\tau$ y $x\in O$, existe $B\in\beta$ tal que $x\in  B\subset O$. En este sentido sí se puede ver que sí se parece a la definición de 'base de entornos'.

Lo que quiero indicar es que no podemos 'expresar' el concepto de base de entornos del mismo modo que base de abiertos, es decir, si una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ es base de entornos, no todo entorno de $x$ se puede poner como unión de entornos de $\beta_x$.

Consideramos la topología a derechas en $\mathbb{R}$, donde una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}]$. En este case dicha base sólo tiene un elemento, luego las uniones que hagamos de elementos de $\beta$ sólo nos da $[x,\infty)$. Sin embargo, hay muchos más entornos de $x$, por ejemplo, $U=(x-1,\infty)$.

Finalmente, en un sentido sí se tiene lo mismo, concretamente, si $\beta_x$ es una familia de entornos de $x$ de forma que todo entornos es unión de elementos de $\beta_x$, entonces $\beta_x$ sí es base de entornos, ya que si $U=\cup_{i\in I}V_i$, con $V_i\in\beta_x$, entonces $V_i\subset U$ $\forall i\in I$.