Diferentes topologías, mismo interior

Sea $X$ un conjunto con diferentes topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si $A\subset X$ es un subconjunto, su interior puede coincidir en $(X,\tau_1)$ y en $(X,\tau_2)$. Por ejemplo, el interior de $X$ es $X$  en con cualquier topología posible en $X$. Lo mismo pasa con $\emptyset$.

Si queremos irnos a otros subconjuntos $A$, podemos tomar $X=\mathbb{R}$. Sea $A=(0,\infty)$. El interior de este conjunto es $A$ considerando en $\mathbb{R}$:

• la topología discreta,
• la topología usual,
• la topología del punto incluido para $p=1$,
• la topología del conjunto incluido si dicho conjunto es $[1,2]$,
• la topología del punto excluido para $p=0$,
• la topología a derechas,
• la topología de Sorgenfrey,
• la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$.

Lo que no puede suceder es que el interior de todos los subconjuntos coincidan para dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$, ya que los conjuntos abiertos vienen caracterizados en términos del interior de un conjunto.