Comparando base de abiertos y base de entornos

Quiero comparar las definiciones de 'base de abiertos' y 'base de entornos'. Recuerdo ambos conceptos. 

•  Una familia $\beta$ es base de abiertos si es una familia de abiertos de forma que todo abierto es entorno de elementos de $\beta$. 
• (*) Por otro lado, una base de entornos de $x$ es una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ de forma que dado un entorno $U$ de $x$, existe $V\in\beta_x$ tal que $V\subset U$.

Podemos observar que son diferentes en el sentido en que para base de abiertos, todo abierto se 'construye' a base de elementos de $\beta$ mientras que para base de entornos usamos la inclusión de conjuntos. Sin embargo, recuerdo que ya se caracterizó el concepto de base de abiertos del siguiente modo: una familia de abiertos $\beta$ es base de abiertos si para cada $O\in\tau$ y $x\in O$, existe $B\in\beta$ tal que $x\in  B\subset O$. En este sentido sí se puede ver que sí se parece a la definición de 'base de entornos'.

Lo que quiero indicar es que no podemos 'expresar' el concepto de base de entornos del mismo modo que base de abiertos, es decir, si una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ es base de entornos, no todo entorno de $x$ se puede poner como unión de entornos de $\beta_x$.

Consideramos la topología a derechas en $\mathbb{R}$, donde una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}]$. En este case dicha base sólo tiene un elemento, luego las uniones que hagamos de elementos de $\beta$ sólo nos da $[x,\infty)$. Sin embargo, hay muchos más entornos de $x$, por ejemplo, $U=(x-1,\infty)$.

Finalmente, en un sentido sí se tiene lo mismo, concretamente, si $\beta_x$ es una familia de entornos de $x$ de forma que todo entornos es unión de elementos de $\beta_x$, entonces $\beta_x$ sí es base de entornos, ya que si $U=\cup_{i\in I}V_i$, con $V_i\in\beta_x$, entonces $V_i\subset U$ $\forall i\in I$.