Número de Lebesgue de un recubrimiento

Propongo como ejercicio para clase el lema del recubrimiento de Lebesgue: sea (X,d) un espacio métrico compacto y O_i un recubrimiento por abiertos de X. Entonces existe r>0 tal que para cada x de X, la bola B_r(x) se encuentra incluida en algún abierto O_i.

El número r se llama el número de Lebesgue del recubrimiento O_i.

Operaciones topológicas y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones topológicas?

1. ¿El interior de un compacto es compacto?
2. ¿La adherencia de un compacto es compacto?
3. ¿El exterior de un compacto es compacto?
4. ¿La frontera de un compacto es compacto?
   

Buscad ejemplos de que sí o de que no. Estudiad también si hay un resultado que diga, por ejemplo, "la adherencia de un conjunto compacto es compacto" y similares en los otros casos. También si hay que poner alguna hipótesis más para que sea cierto el resultado.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un espacio Haussdorff, la adherencia de un compacto es un conjunto compacto: evidente, ya que un compacto debe ser cerrado, luego coincide con su adherencia.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, si A es un conjunto compacto (es finito), entonces su interior, su adherencia y su frontera son compactos pero su exterior nunca es compacto: el interior y la adherencia de A es A, la frontera es el conjunto vacío y el exterior es el complementario de A.

Operaciones de conjuntos y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones de conjuntos?

1. ¿La intersección de compactos es compacto?
2. ¿La unión de compactos es compacto?
3. ¿El complementario de compacto es compacto?

Buscad ejemplos de que sí o de que no.

También ejemplos de espacios topológicos concretos donde SIEMPRE sea cierto o donde SIEMPRE no sea cierto.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un conjunto finito, todos los conjuntos son compactos. Luego la respuesta a las anteriores preguntas es SIEMPRE sí.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, la intersección de compacto siempre es compacto y la unión de compactos es siempre compacto. Y nunca el complementario de un compacto es compacto (suponemos que el conjunto es infinito, para no caer en el caso A)).

Compacidad y subconjuntos cerrados

En un espacio Haussdorff, los conjuntos compactos son cerrados. En clase hemos visto un ejemplo de un espacio (topología de los complementos finitos) cuyos compactos no son necesariamente cerrados.

1. ¿Hay más ejemplos de lo mismo?
2. ¿Hay ejemplos de espacios no Haussdorff donde todos los compactos son cerrados?
3. ¿Hay ejemplos de espacios donde todos los compactos (o algunos) son abiertos?