Una sucesión con infinitos límites

Ya sabemos que en un espacio métrico, el límite de una sucesión convergente es único. Si el espacio topológico no es métrico, puede haber más límites. Éste es el caso del ejemplo que salió ayer en clase y que pongo en el el blog.

En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ se considera la topología que tiene por abiertos los conjuntos de la forma $A_n=\{n,n+1,\ldots\}$. Este espacio no es Hausdorff y por tanto, no es metrizable.

Tomamos la sucesión $\{x_n\}=\{n\}$ y veamos que converge a cualquier número natural $m\in \mathbb{N}$. Para ello, consideramos una base de entornos de $m$ en esta topología, que no es más que $\beta_m=\{A_m\}$. Hay que probar que existe $\nu\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq \nu$, entonces $x_n\in A_m$. Basta tomar $\nu=m$.

De este ejemplo, podemos tomar más, por ejemplo, la sucesión de números pares $\{2n\}$ converge a cualquier número natural.

Esto no quiere decir que toda sucesión convergente tiene más de un límite. Por ejemplo, la sucesión constante $\{1,1,\ldots\}$ sólo converge a $1$. Para acabar, podéis probar que toda sucesión en $\mathbb{N}$ es convergente y que $1$ es un límite de toda sucesión.

La compacidad del 73

Ya he comentado varias veces en clase el libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach. Ver también http://topologia-i.blogspot.com/2009/03/separacion-algunos-ejemplos.html
Aparecen 143 espacios topológicos a los cuales se les estudia si satisfacen o no propiedades topológicas, poniendo en una (gran) tabla de dos entradas, por un lado el espacio topológico, y en el otro, la propiedad. Ponen 1 si la satisface y 0 si no: ver las páginas 170 a 179.
Como estamos ahora con la compacidad, me fijo en el número 73, el que llaman "Telophase topology". El espacio es el siguiente. Sea $X=[0,1]\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X. La topología T se define por bases de entornos. Para los puntos de $[0,1]$, la base es la de la topología usual. Y para el punto p es la formado por los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$, donde a está en $[0,1)$. Puede probarse que una base $\beta$ es la formada por los de la base usual en $[0,1]$ junto los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$.
También es obvio que la topología inducida en $[0,1]$ es la topología usual, es decir, $T_{[0,1]}=\tau_u$.
En el libro, para la compacidad del 73 ponen 1. Efectivamente, el espacio es compacto. Tomamos un recubrimiento por elementos de la base $\beta$ del espacio. Uno de ellos, debe contener al punto p, luego ése es de la forma $O=(a,1)\cup\{p\}$ para algún $a\in[0,1]$. El resto de abiertos recubre el conjunto $[0,a]$, que es compacto: ¡la topología inducida en $[0,a]$ por $T$ coincide con la usual!, y sabemos que $[0,a]$ es compacto. Por tanto, existirá un subrecubrimiento finito. Si a ese recubrimiento le añadimos $O$, hemos acabado.
Dejo la pregunta sobre la compacidad local ¿es Hausdorff?

Compacidad, cerrados, Hausdorff

En clase se ha probado que en un espacio Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Si el espacio no es Hausdorff, no es cierto el resultado. Un ejemplo sencillo es tomar cualquier espacio topológico finito. Entonces todo conjunto es compacto, al ser finito, pero no todo conjunto es cerrado (a no ser que el espacio tenga la topología discreta). Otro ejemplo sería un conjunto con la topología de los complementos finitos. Se sabe que la topología inducida en todo subconjunto es de nuevo la topología cofinita, es decir, todo subconjunto es compacto. Sin embargo, si el conjunto no es finito, no es cerrado ¿Podéis encontrar más ejemplos?

La otra pregunta que dejo es la de encontrar espacios que no sean Hausdorff de forma que todo conjunto compacto sea cerrado.

Por cierto, Hausdorff fue un matemático alemán que vivió hasta los años cuarenta y con un triste final (http://personal.us.es/arias/TM/06-Hausdorff.pdf y http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hausdorff.html).

Separación de puntos

En el ejemplo de hoy tomamos un conjunto $X$ y una partición por dos conjuntos $A$ y $B$, cada uno con más de dos puntos. Tomamos como abiertos de la topología $T$, aparte de los triviales, a los conjuntos $A$ y $B$. Hemos probado que no es Hausdorff ya que dos puntos de $A$ no pueden separarse por abiertos. Esto se debe a que el único abierto que contiene a cada uno de esos puntos es $A$ (aparte de $X$).

Algo parecido lo podemos en la topología del punto incluido: sea $X$ un conjunto y $p$ el punto elegido. Entonces todo abierto contiene al punto p, luego dos abiertos distintos siempre se cortan. Esto significa que no es Hausdorff.

Y también algo parecido sucede cuando en el espacio topológico existen puntos algo "patológicos". Por ejemplo, si hay un punto, donde el único entorno es todo el espacio. Esto sucede por ejemplo en la topología de Sierpinski o en la topología del punto excluido, donde el único entorno del punto excluido es todo el espacio.

Compacidad y adherencia

Probar que en un espacio Haussdorff, la adherencia de conjunto compacto también es compacto.

Poner un contraejemplo de que no es cierto el resultado si el espacio no es Haussdorff.

Compacidad y subconjuntos cerrados

En un espacio Haussdorff, los conjuntos compactos son cerrados. En clase hemos visto un ejemplo de un espacio (topología de los complementos finitos) cuyos compactos no son necesariamente cerrados.

1. ¿Hay más ejemplos de lo mismo?
2. ¿Hay ejemplos de espacios no Haussdorff donde todos los compactos son cerrados?
3. ¿Hay ejemplos de espacios donde todos los compactos (o algunos) son abiertos?

Espacio regular que no es Haussdorff

En esta entrada mostramos un ejemplo de un espacio regular que no es Haussdorff.

Sea X=\{a,b,c\} con la topología

\tau=\{\emptyset,X, O:=\{a\},G:=\{b,c\}\}.

Este espacio no es Haussdorff pues los puntos b y c no se pueden separar por abiertos: todo entorno de ambos puntos debe de contener al menos el abierto G.

Es espacio es regular. La familia de cerrados coincide con la de abiertos. Tenemos sólo dos posibilidades: que el punto sea a y el cerrado G o que el punto sea b (ó c) y el abierto sea O. En el primer caso, el entorno buscado es O y el abierto G. En el segundo, el entorno es G y el abierto O.

(por Ágata)

Axiomas de separación y espacios métricos

Como veremos en este tema, los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación que vamos a definir. Por tanto, y en cierto sentido, el hecho de que un espacio topológico satisface uno u otro axioma, nos va a indicar cuánto de análogo es a un espacio métrico. El ejemplo más claro lo tenemos con el axioma Haussdorff. Un espacio métrico es Haussdorff, y en tal caso, ya se probó que toda sucesión convergente tiene un límite único.

Por tanto, si tomamos un espacio no Haussdorff, podrá haber sucesiones con diferentes límites. El espacio de Sierpinski es un ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Este espacio no es Haussdorff ya que el único entorno de $b$ es $X$, que contiene al elemento $a$. En dicho espacio, tomamos la sucesión $\{x_n=a\}_n.$ Esta sucesión tiene dos límites, a saber, $a$ y $b$. Es evidente que converge a $a$, por ser una sucesión constante (en todo espacio topológico, toda sucesión constante es convergente y un límite es el elemento que se va repitiendo en la sucesión). Pero además, también converge a $b$: sea $U$ un entorno de $b$. Por tanto, $U=X$, y todo elemento de la sucesión cae dentro de $U$. Esto dice que $b$ es un límite.

En el espacio de Sierpinski, no todas las sucesiones convergentes tienen varios límites. Por ejemplo, la sucesión constantemente igual a $b$, converge a $b$, pero a no es un límite suyo: en tal caso, dado $U=\{a\}$ entorno de $a$, a partir de un cierto lugar, la sucesión debería estar en $U$, lo cual es falso.