Homeomorfismos de intervalos en otras topologías II

En la entrada anterior, hemos considerado homeomorfismos entre intervalos de R tomando otras topologías. Continuamos con dicho problema, asumiendo que R tiene la topología a derechas, es decir, la que tiene por base a intervalos de la forma $[a,\infty)$.

Se sabe que las aplicaciones continuas son las aplicaciones continuas. Por tanto, si nos preguntamos si dos conjuntos son homeomorfos, es equivalente a encontrar aplicaciones crecientes entre ellos.

De esta forma, dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí, y homeomorfos a los de la forma $(a,\infty)$ y a R. Y lo mismo podemos decir entre intervalos de la forma $[a,\infty)$, $(-\infty,a)$, $(-\infty,a]$, intervalos cerrados, intervalos de la forma $(a,b]$ y finalmente, $[a,b)$. Observemos, y esto es importante, que las aplicaciones biyectivas crecientes que hemos usado para probar lo anterior, son en verdad, homeomorfismos con la topología usual. Pero esto sobra, ya que sólo hace falta biyectiva y creciente.

Quedaría estudiar, por ejemplo, si $(0,\infty)$ es homeomorfo a $[0,\infty)$. ¿existen aplicaciones biyectivas y crecientes entre un conjunto y otro? Observad que si una aplicación biyectiva es creciente, lo mismo sucede con su inversa.

Homeomorfismos de intervalos en otras topologías

Se ha probado que los intervalos abiertos de $R$ son homeomorfos entre sí considerando la topología usual. Nos preguntamos ahora si es cierto el resultado, pero cambiando la topología.

Si tomamos la topología discreta, entonces todo subconjunto tiene como topología inducida la topología discreta. Ya que dos intervalos (abiertos o cerrados, acotado o no acotados) son biyectivos, entonces son homeomorfos.

Tomemos ahora una topología más interesante de $R$, por ejemplo, la topología de Sorgenfrey. Entonces dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí. Para ello, consideramos $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos abiertos acotados y $f$ un homeomorfismo con la topología usual entre ambos intervalos que sea creciente, por ejemplo, uno del tipo $f(x)=mx+n$, con $m>0$. Entonces $f$ es continua con la topología de Sorgrenfrey, ya que la imagen inversa de un intervalo de la forma $[x,y)$ es otro del mismo tipo. Ya que la inversa de $f$ también es creciente, se concluye que $f$ es un homeomorfismo de $R$ en $R$ con la topología de Sorgenfrey. Tomando la aplicacion $x/(1+x)$, establecemos un homeomorfismo entre $R$ y el intervalo $(-1,1)$.

Del mismo modo, se concluye que todos los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí. Lo mismo, todos los intervalos de la forma $[a,b)$; Y también los de la forma $(a,b]$ entre sí.

Del mismo modo, una traslación creciente, es decir, una aplicación de la forma f(x)=x+n, es un homeomorfismo con la topología de Sorgenfrey. Por tanto, los intervalos de la forma (a,infinito) son homeomorfos entre sí; lo mismo con los intervalos de la forma [a,infinito); los de la forma (-infinito,a); y los de (-infinito,a].

Nos quedaría responder a las siguientes preguntas. ¿(0,infinito) es homeomorfo a (-infinito,0)? Está claro que la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo, ya que no es continua, pero podría existir otro.

¿(0,1) es homeomorfo a [0,1]? ¿(0,1]? es homeomorfo a [0,1)?

Ejemplos de homeomorfismo explícitos

Siguiendo el modo de trabajar como hemos venido haciendo en clase, es decir, "escribiendo" las deformaciones entre subconjuntos de espacios euclídeos, podemos explicitar ejemplos de parejas de conjuntos homeomorfos entre sí.

Dos esferas; dos esferas menos sendos puntos; dos cilindros; dos círculos; un cilindro y un cilindro abierto acotado del tipo S^1 x (a,b); un cono y R^2; un cono menos un punto y una corona circular; dos parejas de rectas que no se cortan entre sí; dos parejas de rectas que se corta en un punto; una recta de R^n y un intervalo; una esfera menos dos puntos y un cilindro; un semiplano abierto de R^2 y R^2; R^2 menos una recta y dos bolas disjuntas de R^2.

Un intervalo es homeomorfo a una recta

Cuando uno trabaja con la recta de los números reales R (pienso en Cálculo, en primero de carrera), uno la pinta habitualmente como "una recta en el papel". Esto en verdad es una "representación" de R, ya que la recta en el papel es al menos, un subconjunto del plano (RxR). Sin embargo, mentalmente, es así como uno se imagina R.

En verdad, si uno considera una recta afín de R^n, entonces es fácil probar que dicha recta es homeomorfa a un intervalo abierto. En particular a R. De esta forma, no hay problema de pintar R como una raya en el papel: es más, dicha raya no tiene porqué ser "recta", topoló- gicamente hablando claro.

Del mismo modo, un trozo de una recta afín, es decir, si cogemos unas tijeras y cortamos un segmento del mismo, es homeomorfo a un intervalo cerrado de R.