lunes, 30 de noviembre de 2009

Homeomorfismos de intervalos en otras topologías II

En la entrada anterior, hemos considerado homeomorfismos entre intervalos de R tomando otras topologías. Continuamos con dicho problema, asumiendo que R tiene la topología a derechas, es decir, la que tiene por base a intervalos de la forma $[a,\infty)$.

Se sabe que las aplicaciones continuas son las aplicaciones continuas. Por tanto, si nos preguntamos si dos conjuntos son homeomorfos, es equivalente a encontrar aplicaciones crecientes entre ellos.

De esta forma, dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí, y homeomorfos a los de la forma $(a,\infty)$ y a R. Y lo mismo podemos decir entre intervalos de la forma $[a,\infty)$, $(-\infty,a)$, $(-\infty,a]$, intervalos cerrados, intervalos de la forma $(a,b]$ y finalmente, $[a,b)$. Observemos, y esto es importante, que las aplicaciones biyectivas crecientes que hemos usado para probar lo anterior, son en verdad, homeomorfismos con la topología usual. Pero esto sobra, ya que sólo hace falta biyectiva y creciente.

Quedaría estudiar, por ejemplo, si $(0,\infty)$ es homeomorfo a $[0,\infty)$. ¿existen aplicaciones biyectivas y crecientes entre un conjunto y otro? Observad que si una aplicación biyectiva es creciente, lo mismo sucede con su inversa.

1 comentario:

  1. cual es la funcion biyectiva que hace posible el homeomorfismo entre las bases propuestas

    ResponderEliminar