Se ha probado que los intervalos abiertos de $R$ son homeomorfos entre sí considerando la topología usual. Nos preguntamos ahora si es cierto el resultado, pero cambiando la topología.
Si tomamos la topología discreta, entonces todo subconjunto tiene como topología inducida la topología discreta. Ya que dos intervalos (abiertos o cerrados, acotado o no acotados) son biyectivos, entonces son homeomorfos.
Tomemos ahora una topología más interesante de $R$, por ejemplo, la topología de Sorgenfrey. Entonces dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí. Para ello, consideramos $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos abiertos acotados y $f$ un homeomorfismo con la topología usual entre ambos intervalos que sea creciente, por ejemplo, uno del tipo $f(x)=mx+n$, con $m>0$. Entonces $f$ es continua con la topología de Sorgrenfrey, ya que la imagen inversa de un intervalo de la forma $[x,y)$ es otro del mismo tipo. Ya que la inversa de $f$ también es creciente, se concluye que $f$ es un homeomorfismo de $R$ en $R$ con la topología de Sorgenfrey. Tomando la aplicacion $x/(1+x)$, establecemos un homeomorfismo entre $R$ y el intervalo $(-1,1)$.
Del mismo modo, se concluye que todos los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí. Lo mismo, todos los intervalos de la forma $[a,b)$; Y también los de la forma $(a,b]$ entre sí.
Del mismo modo, una traslación creciente, es decir, una aplicación de la forma f(x)=x+n, es un homeomorfismo con la topología de Sorgenfrey. Por tanto, los intervalos de la forma (a,infinito) son homeomorfos entre sí; lo mismo con los intervalos de la forma [a,infinito); los de la forma (-infinito,a); y los de (-infinito,a].
Nos quedaría responder a las siguientes preguntas. ¿(0,infinito) es homeomorfo a (-infinito,0)? Está claro que la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo, ya que no es continua, pero podría existir otro.
¿(0,1) es homeomorfo a [0,1]? ¿(0,1]? es homeomorfo a [0,1)?
Si tomamos la topología discreta, entonces todo subconjunto tiene como topología inducida la topología discreta. Ya que dos intervalos (abiertos o cerrados, acotado o no acotados) son biyectivos, entonces son homeomorfos.
Tomemos ahora una topología más interesante de $R$, por ejemplo, la topología de Sorgenfrey. Entonces dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí. Para ello, consideramos $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos abiertos acotados y $f$ un homeomorfismo con la topología usual entre ambos intervalos que sea creciente, por ejemplo, uno del tipo $f(x)=mx+n$, con $m>0$. Entonces $f$ es continua con la topología de Sorgrenfrey, ya que la imagen inversa de un intervalo de la forma $[x,y)$ es otro del mismo tipo. Ya que la inversa de $f$ también es creciente, se concluye que $f$ es un homeomorfismo de $R$ en $R$ con la topología de Sorgenfrey. Tomando la aplicacion $x/(1+x)$, establecemos un homeomorfismo entre $R$ y el intervalo $(-1,1)$.
Del mismo modo, se concluye que todos los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí. Lo mismo, todos los intervalos de la forma $[a,b)$; Y también los de la forma $(a,b]$ entre sí.
Del mismo modo, una traslación creciente, es decir, una aplicación de la forma f(x)=x+n, es un homeomorfismo con la topología de Sorgenfrey. Por tanto, los intervalos de la forma (a,infinito) son homeomorfos entre sí; lo mismo con los intervalos de la forma [a,infinito); los de la forma (-infinito,a); y los de (-infinito,a].
Nos quedaría responder a las siguientes preguntas. ¿(0,infinito) es homeomorfo a (-infinito,0)? Está claro que la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo, ya que no es continua, pero podría existir otro.
¿(0,1) es homeomorfo a [0,1]? ¿(0,1]? es homeomorfo a [0,1)?
(0,1) no es homeomorfo a [0,1], lo probamos en clase. Mientras que (0,1] si que es homeomorfo a [0,1), pues es consecuencia directa de que dos intervalos abiertos (acotados o no acotados), son homeomorfos entre sí.
ResponderEliminarPero en clase probamos que (0,1) no es homeomorfo a [0,1] con la topologia usual. Aqui creo que preguntan si son homeomorfos con la topologia de Sorgenfrey. Y el razonamiento utilizado para demostrar que no son homeomorfos en la topologia usual no se podria utilizar en este caso.
ResponderEliminar¿No se podría usar? Que un intervalo abierto y uno cerrado no son homeomorfos lo probamos por la existencia de un invariante topológico, la existencia de máximo. Con otra topología, esto sigue funcionando, ¿no?
ResponderEliminar¿No se podría utilizar? Que un intervalo abierto no es homeomorfo a un cerrado lo probamos por la existencia en el segundo de un invariante topológico que en el primero no está; la existencia de máximo absoluto. Esto se puede seguir usando con esta topología, ¿No?
ResponderEliminarPerdón, pensaba que no había salido la primera vez
ResponderEliminarEl invariante topologico al que hace referencia Irene no lo podemos usar en este caso, ya que necesitamos en el codominio la topologia usual, es decir, tendriamos que tener una funcion de la siguiente forma:
ResponderEliminarf:(X,t) ------- > (R,Tu)
donde t es cualquier topologia y Tu es la topologia usual, y en este caso tenemos la topologia de Sorgenfrey, luego este invarante no podemos usarlo en este caso.
No lo entiendo, sigo pensando que se podria usar para cualquier topología ya que en un intervalo que no sea cerrado siempre podemos encontrar funciones que no alcancen un maximo.
ResponderEliminarYo también pienso que los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí en cualquier topología,
ResponderEliminarahora, creo que si un intervalo es abierto en la topología del dominio, si la topología del codominio es la misma también podemos aplicar esto, y ver que los intervalos abiertos son homeomorfos
Lo que se hizo en clase de probar que los intervalos abiertos eran homeomorfos entre sí; y que los intervalos cerrados eran homeomorfos entre sí, fue con la topología USUAL, ya que las aplicaciones que salían eran continuas con la topología USUAL. Con otras topologías, habría que verlo: de eso va la entrada posterior a ésta.
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