Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.
Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.
Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.
Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.
Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.
Yo creo que el que un conjunto arcoconexo sea conexo nos hace pensar que la arcoconexión es más "importante" o útil a la hora de estudiar las propiedades del conjunto, pero si tenemos en cuenta que la otra implicación no se verifica y que puede parecer más dificil de demostrar que un conjunto sea arcoconexo a demostrar que sea conexo tal vez no se tenga tan claro, aún así si en la mayoría de ejercicios o en los más importantes de topología lo fundamental es la arcoconexión puede que esto implique la importancia de esta definición y de la demostración de que los diferentes conjuntos lo sean.
ResponderEliminarDesde un punto de vista lógico, parece "más importante" la conexión, ya que la arco-conexión podemos entenderla como una "parte" del tema conexión. Es decir, es como un apartado dentro de uno "mayor", donde tenemos otros como "conexión local".
ResponderEliminarPero si atendemos al punto de vista histórico, se sabe que es Euler el primero en "pensar topológicamente" en la resolución del problema de los puentes de Königsberg, y la solución de dicho problema nos lleva a lo que se conoce como característica de Euler, el primer invariante de la topología algebraica y como se dice en el último párrafo, los caminos son fundamentales en esta "rama" de la topología.
Luego yo concluiría que no es posible dar una respuesta rotunda a la pregunta que plantea el título de esta entrada.