Existe un matiz importante a la manera de trabajar para probar si un espacio es conexo a demostrar que es arcoconexo. En el primer caso, hay que probar que "no existe una partición por abiertos no trivial del espacio", mientras que para demostrar que el espacio es arcoconexo, hay que "hallar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio". En éste caso, el esfuerzo es "encontrar" dicho camino, es decir, hay que imaginarse, de un modo u otro, cómo puede ser ese camino, definirlo, y probar que, efectivamente, es un arco.
Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.
Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.
1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.
2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)
Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!
Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.
Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.
Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.
1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.
2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)
Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!
Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.
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