Conexión en la esfera

Se va a probar que la esfera $\mathbb{S}^n$ menos un conjunto $A$ numerable de puntos es conexa: en verdad se demostrará que es arcoconexa.

Antes de la prueba, comentar que la demostración se puede hacer si sabemos ya que $\mathbb{R}^n-B$ es arcoconexo donde $B$ es un conjunto numerable de puntos. En tal caso, se usaría que $\mathbb{S}^n-\{p\}\cong \mathbb{R}^n$. Para aquellas personas que conozcan ese resultado sobre $\mathbb{R}^n-B$, recomiendo que hagan la demostración.

Probamos que $\mathbb{S}^n-A$ es conexo probando que dados dos puntos del conjunto existe un conjunto conexo de $\mathbb{S}^n-A$ que los contiene. Concretamente, ese conjunto va a ser un círculo máximo que pasa por ambos. Un círculo máximo es la intersección de un hiperplano vectorial de $\mathbb{R}^{n+1}$ con $\mathbb{S}^n$ (si alguien se ha perdido aquí, que considere $n=2$). Un círculo máximo es arcoconexo pues es homeomorfo a $\mathbb{S}^{n-1}$.

Tomamos dos puntos antípodas de $\mathbb{S}^n$ que no pertenecen a $A$: esto es posible, pues en caso contrario $\mathbb{S}^n\subset A$. Después de un movimiento rígido (que no cambia el problema), podemos suponer que ambos son el polo norte $N=(0,\ldots,1)$ y el polo sur $S=(0,\ldots,-1)$.

Consideramos el conjunto $D$ de círculos máximos que resultan de intersecar $\mathbb{S}^n$ con todos los hiperplanos que contienen al eje $x_{n+1}$. El conjunto $D$ es infinito no numerable ya que es biyectivo con el conjunto de rotaciones respecto del eje $x_{n+1}$. Además todos ellos se intersecan sólamente en dos puntos, a saber, $N$ y $S$.

Sean $p,q\in \mathbb{S}^n-A$. Afirmamos que existe $C\in D$ tal que $C\subset \mathbb{S}^n-A$ y $p,q\in C$. Si no fuera así, es porque cada círculo $C\in D$ interseca a $A$. Tomamos $a_C\in C\cap A$ un punto de la intersección (usamos para ello el axioma de elección). Entonces la aplicación $f:D\rightarrow A$ dada por $f(C)=a_C$ es inyectiva, ya que si se tienen dos círculos diferentes $C_1$ y $C_2$, los únicos puntos de intersección de ambos son $N$ y $S$, que no son $f(C_1)$ y $f(C_2)$. Finalmente, si $f$ es inyectiva, esto diría que $A$ es no numerable, llegando a una contradicción.

Arcos en la topología del punto incluido

Dado un conjunto $X$, $p\in X$ un elemento fijo y $\tau$ la topología del punto incluido para dicho punto, sabemos que $(X,\tau)$ es un espacio arcoconexo. Se quiere mostrar que dado el punto $p$ y otro $q$, hay muchos arcos que los une. El que se dio en clase fue $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1/2)$ y $\alpha(t)=q$ si $t\geq 1/2$. Pero otro arco puede ser el siguiente: $\beta(t)=p$ si $t\in [0,1/4)$ y $\beta(t)=q$ si $t\in [1/4,1]$. Son arcos diferentes, aunque la imagen es la misma.

Tomamos ahora $X=\mathbb{R}$, $p=0$. Con la misma topología del punto incluido, el segmento que une $p$ con otro punto $q$ NO es un arco, porque no es continua. Recordamos que el segmento está dado por $\alpha(t)=(1-t)p+tq=tq$. Si tomamos $O=\{0\}$, entonces $alpha^{-1}(O)=\{0\}$ que no es abierto en $[0,1]$.

Caminos y conexión

Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos $p=(0,0,0$) y $q=(0,0,2)$. Sea
$\alpha:[0,1]\rightarrow R^3$ un camino que una $p$ con $q$. Queremos probar que la curva $\alpha$ debe intersecar la esfera $S^2$ (cosa que se "ve" claramente).

Consideramos$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ las funciones coordenadas del camino y definamos la función $f:[0,1]\rightarrow R$ dada por $f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, $f(0)=|p|^2=0$ y $f(1)=|q|^2=4$. Ya que $[0,1]$ es conexo, por el teorema del valor medio, existe
$t_0\in [0,1]$ tal que $f(t_0)=1$. Esto quiere decir que $|\alpha(t_0)|^2=1$, es decir, $\alpha(t_0)\in S^2$.

¿Qué prefieres, conexo o arcoconexo?

Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.

Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.

Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz importante a la manera de trabajar para probar si un espacio es conexo a demostrar que es arcoconexo. En el primer caso, hay que probar que "no existe una partición por abiertos no trivial del espacio", mientras que para demostrar que el espacio es arcoconexo, hay que "hallar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio". En éste caso, el esfuerzo es "encontrar" dicho camino, es decir, hay que imaginarse, de un modo u otro, cómo puede ser ese camino, definirlo, y probar que, efectivamente, es un arco.

Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.

Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.

1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.

2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)

Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!

Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.

Ejemplos de espacios arco-conexos

1) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología de los complementos finitos $\tau_{CF}$ es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos se define una curva $f:[0,1]\rightarrow X$ mediante $f(t)=(1-t)x+ty$. Para probar la continuidad, veamos que la imagen inversa de cerrados es cerrado en $[0,1]$. Los conjuntos cerrados en $\tau_{CF}$ son los conjuntos finitos. Como $f$ es biyectiva, la imagen inversa de un conjunto finito es finito, el cual es también un cerrado en la topología usual de $[0,1]$.

2) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología a derechas es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos (p.ej. $x<y$), se define $f(t)= y, \mbox{si\ } t>1/2,\ f(t)=x\mbox{ si\ } t\leq 1/2$. Esta aplicación es continua: hay que probar que O:=f^{-1}([a,\infty)) es abierto en $[0,1]$. Si $y<a$, $O$ es vacío; si $x<a$, $O=(1,2]$, que también es abierto; si $a\leq x$, $O=[0,1]$, que de nuevo es abierto.

Diferentes formas de probar que la esfera es conexa

Recordamos las diferentes maneras de demostrar que una esfera es conexa (y arco-conexa).

1) Sea $p\in \mathbb{S}^n$ y $A=\mathbb{S}^n-\{p\}$. Se sabe que $A$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, mediante la proyección estereográfica). Además $A$ es denso en la esfera, es decir, $\overline{A}=\mathbb{S}^n$. Se tiene un resultado que dice que si A es conexo, también lo es su adherencia. Por tanto la esfera es conexa. En este caso particular, no hemos probado que sea arco-conexa, ya que, en general, la adherencia de un conjunto arco-conexo no tiene porqué ser arco-conexa.

2) El círculo $\mathbb{S}^1$ es conexo, pues $\mathbb{S}^1=f(\mathbb{R})$, donde $f(t)=(\cos(t),\sin(t)).$ Como la recta real es conexa y la imagen de un espacio conexo mediante una aplicación continua es conexa, entonces el círculo es conexo. Probamos ahora que $\mathbb{S}^n$ es conexo por inducción sobre $n$. Supongamos cierto hasta n. Para probar que $\mathbb{S}^{n+1}$ es conexa veamos que dos puntos arbitrarios se unen mediante un conexo $A$. Sean $p$ y $q$ dichos puntos y $P$ un hiperplano que contenga a $p,q$ y el origen. Entonces $A=P\cap\mathbb{S}^{n+1}$ es homeomorfo a $\mathbb{S}^n$, luego es conexo (por inducción). Por tanto $A$ es un conexo que contiene a $p$ y $q$. Todo lo anterior es válido para arco-conexión.

3) Veamos que dados p y q en la esfera, existe un conexo (en verdad, un arco), que los une. Supongamos que p y q son vectores ortogonales. Entonces basta elegir $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)q$. Es evidente que dicho arco une p y q en los instantes $t=0$ y $t=\pi/2$ y que la imagen del arco se encuentra en la esfera. Si no fueran ortogonales ni antípodas, sea $P=< p,q>$ el plano que determinan y sea $r\in ( p^\bot)\cap P$ con $|r|=1$. En particular, $r\in\mathbb{S}^n$. Entonces $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)r$ se encuentra en la esfera, está contenido en P, y por tanto, existe s tal que $\alpha(s)=q$. En el caso de que fueran antípodas, basta tomar cualquier plano que contenga a p y -p=q. Esto prueba que la esfera es arco-conexa, en particular, conexa.

4) El espacio $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ es arco-conexo. Basta darse cuenta de que todo punto se une mediante un segmento con el punto $p=(0,\ldots,0,1)$ o el punto $q=(0,\ldots,0,-1)$ y que p y q se pueden unir mediante un arco. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\rightarrow\mathbb{S}^n$ dada por $f(x)=\frac{x}{|x|}$. Es evidente que esta aplicación es continua y que $f(\mathbb{R}^{n+1}-\{0\})=\mathbb{S}^n$. Como la arco-conexión se mantiene por aplicaciones continuas, la esfera es arco-conexa.

Espacio arco-conexo que no es localmente arco-conexo

Un espacio es localmente arco-conexo si todo punto tiene una base de entornos arco-conexos. A igual que pasaba con la propiedad de conexión, existen espacio que son arco-conexos, pero no localmente arco-conexos. En el caso de conexión, el ejemplo era $[0,1]\times [0,1]\cup_n\{[0,1]\times\{1/n\};n\in\mathbb{n}\}.$

El ejemplo para arco-conexión es el siguiente.

Sea $X_1=\{(x,\sin(\frac{1}{x})\};x>0\}$ y $X_2=\{0\}\times [-1,1].$ Se sabe que tanto $X_1$ como $X_2$ son arco-conexos, pero $X_1\cup X_2$ no lo es. Unimos un punto de $X_1$ con otro de $X_2$ mediante un segmento, por ejemplo, $X_3=[(1/\pi,0),(0,-1)].$ En particular, $X_3$ es arco-conexo.

Sea $X=X_1\cup X_2\cup X_3.$ Ver figura. Este espacio es arco-conexo, pues la intersección de $X_3$ con $X_1$ y con $X_2$ no es vacía. Sin embargo, el espacio no es localmente arco-conexo: el punto $(0,0)$ no tiene una base de entornos arco-conexas, ya que, para entornos "suficientemente pequeños", dichos entornos tienen una parte en $X_1$. otra en $X_2$ y ninguna en $X_3$, y por tanto, no son conjuntos arco-conexos.

Arco-conexión y teoría de conjuntos

Nos preguntamos cómo se comporta la propiedad de arco-conexión con las operaciones de teoría de conjuntos. Lo que viene a continuación también es válido para conexión.

1) Si dos conjuntos son arco-conexos, su unión no tiene porqué ser arco-conexos. Por ejemplo, los intervalos $(0,1)$ y $(1,2)$ son arco-conexos, pero su unión no es arco-conexa (no es conexa).

2) Si dos conjuntos son arco-conexos, su intersección no tiene porqué ser arco-conexa. En $\mathbb{R}^2$, consideramos una circunferencia $\mathbb{S}^1$ y $A$ y $B$ las dos semi-circunferencias $A=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\geq 0\}$ y $B=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\leq 0\}$. Entonces $A$ y $B$ son arcoconexos porque son homeomorfos a intervalos. Pero la intersección son dos puntos de $\mathbb{R}^2$, que no es arco-conexo (no es ni conexo).

3) Si un conjunto es arco-conexa, su conjunto complementario no tiene porqué ser arco-conexo. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$, un punto es arco-conexo, pero su complementario (que no es intervalo), no es arco-conexo..

Los "segmentos" no son "arcos"

Si $x,y$ son dos puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ se define el segmento $[x,y]$ como $[x,y]=\{(1-t)x+ty;t\in[0,1]\}$ y la aplicación $\alpha:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n dada por $\alpha(t)=(1-t)x+ty es continua (con la topología usual), es decir, es un arco que une $x$ con $y$. Si cambiamos de topología, $\alpha$ puede dejar de ser continua.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto incluido con $p=2$. La aplicación $\alpha(t)=t$, que une $0$ y $1$, no es continua, pues $\{1,2\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{1,2\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Sin embargo $(\mathbb{R},T)$ es arco-conexo.

Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto excluido, con $p=2$. La aplicación anterior no es continua pues $\{1\}\in T$ pero $\alpha^{-1}(\{1\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Este espacio también es arco-conexo.

Si se toma la topología discreta T en $\mathbb{R}^n$, la aplicación $\alpha(t)=(1-t)x+ty$ no es continua, pues $\{x\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{x\})=\{0\}$, que no es abierto.

Sea el conjunto $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;y\geq 0\}$ con la topología T del plano de Moore. La aplicación $\alpha(t)=(t,0)$ une el punto $(0,0)$ con $(1,0)$ y no es continua, pues si $B_t$ es un elemento de la base de entornos de $(t,0)$, $\alpha^{-1}(B_t)=\{t\}$, que no es abierto en $[0,1]$.

Curva de Peano y Sierpinski

Nos imaginamos los arcos como curvas "buenas", con un buen comportamiento. La curva de Peano nos dice que hay que tener cuidado. La curva de Peano es una curva continua $\alpha:[0,1]\rightarrow C=:[0,1]\times [0,1]$ tal que $\alpha([0,1])=C$, es decir, la curva rellena todo el cuadrado. Podéis ver dibujos de la curva aquí.

Otro ejemplo de curva rara es la curva de Sierpinski. En este caso la curva es cerrada ($\alpha(0)=\alpha(1)$), no se autointerseca, es decir, es inyectiva en $(0,1$). Finalmente, su imagen en densa en $C$, es decir, $\overline{\alpha(I)}=C.$

Esta curva está relacionada con el Problema del Viajante: dadas n ciudades, un punto de salida y otro final, encontrar el camino más corto que pase por todas las ciudades sólo una vez. Este problema no está resuelto hoy en día.

Las curvas anteriores tienen dimensión fractal entre 1 y 2, es decir, no son curvas como las que dibujamos en el papel. Ésta es la razón de ser "raras". Pero ¡son continuas!

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz constructivo entre probar que un espacio es conexo y que sea arco-conexo. Para probar que un espacio es conexo hay que demostrar que no existe una partición por abiertos no trivial, y para ver si es arco-conexo hay que construir para cada dos puntos un arco que los une. Por tanto, en esta última situación hay que hallar explícitamente dicho arco.

Estaba claro en el ejemplo de clase que hemos visto hoy. Consideramos $X=\mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1$. Este espacio no es conexo, pues $X=A\cup B$, siendo $A$ la bola $B_1(0,0)$ y $B$ la corona circular $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x^2+y^2>1\}$. Tanto $A$ como $B$ son conjuntos abiertos del plano, luego son abiertos relativos de $X$ y forman una partición no trivial del mismo: el espacio no es conexo.

Veamos ahora que no es arco-conexo. No vamos a usar el resultado de que arco-conexo implica conexo, sino que vamos a probar explícitamente que no es posible encontrar arcos que unan puntos de $A$ con los de $B$. Sean $x$ e $y$ puntos de sendos conjuntos y sea $\alpha:[0,1]\rightarrow X$ un arco que une $x$ con $y$. Se define la aplicación $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ como $f(t)=|\alpha(t)|$. Esta aplicación es continua, pues $f=g\circ \alpha$ y g es la restricción a X de la aplicación $(x,y)\longmapsto\sqrt{x^2+y^2}$. Como $f(0)=x<1$ y $f(1)=y>1$, el teorema del valor intermedio asegura que existe $t$ tal que $f(t)=1$, en particular, $\alpha(t)\in\mathbb{S}^1$: contradicción.

Las componentes conexas de $X$ son $A$ y $B$, pues ambos son conexos (uno es convexo y el segundo es una corona, de la que se probó que era conexa -en verdad, arco-conexa-). Si $x\in A$, $A\subset C_x$. Si hubiera puntos de la componente en $B$, entonces podríamos escribir $C_x=(A\cap C_x)\cup (B\cap C_x)$ y C_x no sería conexo. Luego $A=C_x$. De la misma forma, $B$ es la otra componente conexa.

Las componentes arcoconexas de $X$ son también $A$ y $B$. En primer lugar, $A$ y $B$ son conjuntos arco-conexos. Por otro, si $x\in A$, $A\subset A_x\subset C_x=A$, probando $A=A_x$. De la misma forma, se prueba $B$ es la otra componente arcoconexa.

La esfera cornuda de Alexander

Más sobre el teorema de la curva de Jordan. El teorema de la curva de Jordan tiene una continuación con el Teorema de Schönflies que dice lo siguiente. Recordemos que una curva de Jordan es un conjunto homeomorfo a un círculo \mathbb{S}^1, es decir, es una curva cerrada que no se autointerseca. Sea C una curva de Jordan del plano \mathbb{R}^2. Entonces las dos componente conexas \mathbb{R}^2-C son homeomorfas a las dos componentes conexas \mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1. En particular, una de las componentes es homeomorfa a un disco abierto.

Una pregunta natural es si el resultado se generaliza a más dimensiones. Sea S una superficie cerrada que no se autointerseca homeomorfa a una esfera \mathbb{S}^2. Entonces el teorema análogo al de Jordan dice que \mathbb{R}^3-S tiene dos componentes conexas. Nos preguntamos si las componentes conexas de \mathbb{R}^3-S son homeomorfas a las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2.

Respuesta: No. El ejemplo más famoso es la esfera cornuda de Alexander. Podéis ver un video en aquí, e información en wikipedia.

Cualquiera de las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2 son contráctiles, es decir, todo lazo se puede deformar en un punto. Sin embargo, en las componentes conexas del complementario de la esfera de Alexander existen lazos que no se pueden reducir a un punto. Podéis ver más información aquí que está en el enlace "Juegos topológicos" de este blog.

Corona circular y el disco abierto no son homeomorfos

En la entrada anterior hay un 'pequeño' detalle, que está sin probar en clase (y no se probará este curso): una corona circular no es homeomorfa a un disco. Para probar esto hay que usar el concepto de grupo fundamental, el cual no se define este curso, aunque se ha hablado de él varias veces. Además, este ejemplo es una buena introducción a la parte del tema 4 que está aun sin explicar: arco-conexión.

Un arco en un espacio topológico es una curva continua. Nos podemos imaginar los arcos como trozos de cuerdas en el espacio. Un espacio se dice que es arcoconexo si dos puntos cualesquiera se pueden unir por un arco. Además es una propiedad topológica. En clase estudiaremos algunas propiedades y estudiaremos si ciertos espacios son o no arcoconexos. Por ejemplo, el espacio que era el grafo de la función sen(1/x) junto el origen (0,0) no es arco-conexo (aunque era conexo).

Es evidente que tanto la corona circular como el disco abierto son arcoconexos. En el segundo vale como arco el segmento que une dos puntos (por ser convexo). En el primero vale con tomar trozos de círculos junto con segmentos.

Un lazo es un arco cuyo origen y final coinciden (lo que todo el mundo entiende por 'lazo'). Se dice que un espacio es contráctil si todo lazo se puede deformar (por otros lazos) en un punto. Se entiende que cuando se deforma no nos 'salimos' del espacio topológico. El ser contractil es una propiedad topológica. No es difícil: sólo hay que definir qué significa una 'deformación', por lo demás, es dejarse llevar.

Para acabar, es evidente que en el disco abierto, todo lazo se puede deformar en un punto, como aparece en el dibujo de la izquierda. En la corona circular hay lazos que sí tienen esta propiedad, como sucede con el lazo amarillo. Pero hay otros que no la tienen, como el lazo rojo, que al 'rodear' el agujero que determina la corona impide que se pueda deformar en un punto (sin salirse de la corona, claro). Se concluye que la corona no es contráctil, y por tanto, no es homeomorfa al disco.