jueves, 5 de febrero de 2009

El teorema de la curva de Jordan

En uno de los enlaces del blog, aparece un vídeo sobre el teorema de la curva de Jordan que dice lo siguiente. Consideramos F un conjunto del plano $\mathbb{R}^2$ homeomorfo al circulo $\mathbb{S}^1$. Entonces $\mathbb{R}^2-F$ tiene dos componentes conexas. El conjunto $F$ puede ser imaginado como una curva cerrada que no se corta asímisma. En el caso concreto que $F=\mathbb{S}^1$ es evidente el resultado y se hizo en clase.

Lo curioso del resultado es que siendo "intuitivamente evidente" su prueba requiere de herramientas topológicas y algebraicas tan fuertes que su demostración se realiza en el último curso de la Licenciatura.

En general nos podemos realizar la siguiente pregunta. Sean $F_1$ y $F_2$ dos cerrados de $\mathbb{R}^n$ que son homeomorfos entre sí. Entonces ¿$ \mathbb{R}^n-F_1$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n-F_2$? En el caso anterior, $F_1$ es el circulo $\mathbb{S}^1$.

Pongamos el siguiente ejemplo del plano $\mathbb{R}^2$. Sea $F_1$ dos círculos concéntricos y $F_2$ dos círculos disjuntos y no concéntricos. Concretamente, $F_1=S_1(0,0)\cup S_2(0,0)$ y $F_2=S_1(0,0)\cup S_1(3,0)$. Es evidente que $F_1\cong F_2$. Sin embargo $\mathbb{R}^2-F_1\not\cong\mathbb{R}^2-F_2$. En ambos casos, el conjunto complementario tiene tres componentes conexa (ejercicio). En el primer ejemplo, estas componentes son: un disco, una corona circular y otra corona circular. En el segundo las componentes son dos discos y otro conjunto más que no hace falta saber cómo es su topología. Si los conjuntos complementarios fueran conexos las componentes conexas serían homeomorfas, cosa que no puede ser.


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