El teorema de la curva de Jordan

En uno de los enlaces del blog, aparece un vídeo sobre el teorema de la curva de Jordan que dice lo siguiente. Consideramos F un conjunto del plano $\mathbb{R}^2$ homeomorfo al circulo $\mathbb{S}^1$. Entonces $\mathbb{R}^2-F$ tiene dos componentes conexas. El conjunto $F$ puede ser imaginado como una curva cerrada que no se corta asímisma. En el caso concreto que $F=\mathbb{S}^1$ es evidente el resultado y se hizo en clase.

Lo curioso del resultado es que siendo "intuitivamente evidente" su prueba requiere de herramientas topológicas y algebraicas tan fuertes que su demostración se realiza en el último curso de la Licenciatura.

En general nos podemos realizar la siguiente pregunta. Sean $F_1$ y $F_2$ dos cerrados de $\mathbb{R}^n$ que son homeomorfos entre sí. Entonces ¿$ \mathbb{R}^n-F_1$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n-F_2$? En el caso anterior, $F_1$ es el circulo $\mathbb{S}^1$.

Pongamos el siguiente ejemplo del plano $\mathbb{R}^2$. Sea $F_1$ dos círculos concéntricos y $F_2$ dos círculos disjuntos y no concéntricos. Concretamente, $F_1=S_1(0,0)\cup S_2(0,0)$ y $F_2=S_1(0,0)\cup S_1(3,0)$. Es evidente que $F_1\cong F_2$. Sin embargo $\mathbb{R}^2-F_1\not\cong\mathbb{R}^2-F_2$. En ambos casos, el conjunto complementario tiene tres componentes conexa (ejercicio). En el primer ejemplo, estas componentes son: un disco, una corona circular y otra corona circular. En el segundo las componentes son dos discos y otro conjunto más que no hace falta saber cómo es su topología. Si los conjuntos complementarios fueran conexos las componentes conexas serían homeomorfas, cosa que no puede ser.