Tres espacios no homeomorfos entre sí

En el examen de febrero pregunté por tres espacios que no son  homeomorfos entre sí. Dichos espacios son subconjuntos del plano euclídeo: $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$,  $B=A-\{(1,0)\}$ y $C={\mathbb S}^1$. Se preguntaba que cualquier par de dichos espacios no son homeomorfos. Para ello se usa conexión y compacidad.

1. $A$ es compacto por ser cerrado y acotado. Es cerrado ya que $A=f^{-1}([0,1])$ donde $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$ es la aplicación continua $f(x,y)=x^2+y^2$.
2. $B$ no es compacto ya que no es cerrado, pues su adherencia es $A$: toda bola centrada en $(1,0)$ interseca a $B$.
3. $C$ es compacto por ser acotado y cerrado: es cerrado ya que $C=f^{-1}(\{1\})$.

Por tanto, sólo queda distinguir $A$ de $C$. Supongamos que $\phi:A\rightarrow {\mathbb S}^{-1}$ es un homeomorfismo. Entonces si $p,q\in A$, $A-\{p,q\}\cong {\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$. Por un lado, ${\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$ no es conexo, ya que ${\mathbb S}^1-\{\phi(p)\}$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$, luego al quitarle otro punto, no es conexo. Sin embargo $A-\{p,q\}$ es conexo. Para ello hay varios razonamientos, pero si tomamos $p,q$ en el borde de $A$, por ejemplo, $p=(1,0)$ y $q=-p$, entonces $A-\{p,q\}$ es un conjunto convexo y por tanto, es conexo.