Pegar un espacio consigo mismo

Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y hacemos dos 'copias' del mismo. Una forma es considerar el espacio topológico producto  $(X\times\{0,1\},\tau\times\tau_u)$. Este espacio no es conexo, ya que el segundo factor no lo es. Podemos decir que son dos copias del espacio $(X,\tau)$, copias 'colocadas' en otro espacio topológico, que es un espacio producto.

Se define en $X\times \{0,1\}$ la relación de equivalencia $(x,t)R(x',t')$ si $x=x'$. Esta relación 'identifica' los puntos de una copia con los de la otra con la misma abcisa. Por tanto estamos pegando una copia con la otra, es decir, $X$ consigo mismo.

Probamos que $\frac{X\times\{0,1\}}{R}\cong X$. Para ello definimos $f:X\times\{0,1\}\rightarrow X$ mediante $f(x,t)=x$, es decir, $f$ es la primera proyección. Entonces $f$ es sobreyectiva, continua y abierta y por tanto, una identificación. Es evidente también que $R_f$ es $R$, luego se tiene el homeomorfismo buscado.