Buscando un contraejemplo

El axioma de separación "normal" no es productiva, es decir, no se mantiene (en general) por productos topológicos. El ejemplo que siempre aparece es la recta de Sorgenfrey $(R,\tau_S)$. Este espacio es normal. Sin embargo, $(R\times R,\tau_S\times\tau_S)$ no es normal. Estoy buscando otro ejemplo. Estoy pensando en tres formas de obtener contrajemplos.

Primero, a partir de topologías definidas en $R$, y haciendo el producto consigo misma. Pienso en la topología a derechas, la cual es normal. La pregunta es si $(R\times R,T_d\times T_d)$ es o no normal.

La otra forma es buscando ejemplos en conjuntos finitos. Por ejemplo, en la topología de Sierpinski, que sí es normal, y haciendo el producto por sí misma.

Finalmente, tomando dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T^\prime)$ donde $X$ e $Y$ son distintos. Por ejemplo, $(X,T)=R$ con la topología usual e $(Y,T^\prime)$ la topología de Sierpinski.

Compacidad y axiomas de separación

Se ha visto hoy en clase que un espacio Haussdorff y compacto es normal y regular. Propongo buscar ejemplos de:

1. espacios compactos y T_1 que no sean normales.
2. espacios compactos y T_1 que no sean regulares.
3. espacios normales y Haussdorff que no sean compactos.

Lema de Uryshon y teorema de Tietze

El lema de Uryshon y el teorema de Tietze caracterizan los espacios normales. Por tanto, los enunciados del lema y del teorema son equivalente. Pregunto si es posible encontrar una demostración de que ambos resultados sean equivalentes, sin pasar por el hecho de que caracterizan espacios normales.

Por ejemplo, se me ocurre lo siguiente para la implicación Tietze -> Uryshon. Sean F y F' dos cerrados disjuntos y se define una aplicación f en su unión que me lleve F en 0 y F' en 1. Esta aplicación es continua en un cerrado, luego por el teorema de Tietze se extiende a una aplicación g de X en R. Pero R es homeomorfo a un intervalo abierto, que podría ser elegido para que contuviera a [0,1] ¿cómo se seguiría?

Separación: algunos ejemplos

En la entrada anterior, aparecía la topología trivial como ejemplo de un espacio topológico que era regular pero no Haussdorff. Pregunta: alguien podría poner otro ejemplo.

Otra pregunta: ¿y un espacio que no fuera ni regular ni T_1?

Más preguntas: aparte de los que se han explicado en clase, buscar un ejemplo de un espacio normal pero no regular; y de un espacio que sea regular pero no normal.

Hoy he hablado sobre el siguiente libro:

Counterexamples in Topology, de Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr. Dover Publications, 1995. Esta edición es una nueva de otra anterior. Sorprendentemente (para mí), el propio libro tiene una entrada en la Wikipedia, la cual de por sí es interesante de leer. Véase aquí.

El resumen del libro es el siguiente: "Over 140 examples, preceded by a succinct exposition of general topology and basic terminology. Each example treated as a whole. Over 25 Venn diagrams and charts summarize properties of the examples, while discussions of general methods of construction and change give readers insight into constructing counterexamples. Includes problems and exercises, correlated with examples."