(X,Tcf) el conjunto X con la topología de los complementos finitos se vio que era compacto y además T1 (todos los puntos son cerrados (son conjuntos finitos)). Pero este espacio no es normal. Si suponemos que X es infinito los abiertos siempre se intersecan. Tampoco es regular, por la misma razón.
Un ejemplo de espacio normal y T2 que no es compacto podría ser (X,TD), es decir, cualquier espacio(infinito) con la topología discreta: -En clase hemos estudiado que un espacio con la topología discreta es compacto sii es finito -Es T2 porque para cualesquiera puntos disjuntos podemos tomar como entorno de cada uno el propio punto, y por tanto hemos encontrado entornos disjuntos. -Es normal porque para cualesquiera dos cerrados disjuntos, podemos encontrar dos abiertos disjuntos que los contienen( basta con tomar como abiertos los propios cerrados)
Otro ejemplo de espacio Haussdorff y normal que no es compacto es (R,T_sorg). No me acuerdo si se vio que era Haussdorff en clase, creo que sí, pero lo recuerdo: para cada dos puntos de R distintos,x e y cualesquiera,con x>y tomo entornos UeUx y VeUy U={[x,x+E);E > O}, V={[y,y+D);0 < D < y-x} vemos que la intersección de U y V es vacía, por lo tanto T2. También es normal, ya que para cada dos cerrados disjuntos cualesquiera [a,b) ,[x,y) tomamos dos abiertos que los contengan, que coinciden con ellos mismos, y la intersección es vacía. Y no es compacto porque un recubrimiento de abiertos de R podría ser U[-n,n],con n natural, y la unión finita de elementos de este tipo no da R.
(X,Tcf) el conjunto X con la topología de los complementos finitos se vio que era compacto y además T1 (todos los puntos son cerrados (son conjuntos finitos)). Pero este espacio no es normal. Si suponemos que X es infinito los abiertos siempre se intersecan.
ResponderEliminarTampoco es regular, por la misma razón.
(R,Tu) Se sabe que es Haussdorff y normal.Se comprobó que no era compacto.
ResponderEliminarUn ejemplo de espacio normal y T2 que no es compacto podría ser (X,TD), es decir, cualquier espacio(infinito) con la topología discreta:
ResponderEliminar-En clase hemos estudiado que un espacio con la topología discreta es compacto sii es finito
-Es T2 porque para cualesquiera puntos disjuntos podemos tomar como entorno de cada uno el propio punto, y por tanto hemos encontrado entornos disjuntos.
-Es normal porque para cualesquiera dos cerrados disjuntos, podemos encontrar dos abiertos disjuntos que los contienen( basta con tomar como abiertos los propios cerrados)
Otro ejemplo de espacio Haussdorff y normal que no es compacto es (R,T_sorg). No me acuerdo si se vio que era Haussdorff en clase, creo que sí, pero lo recuerdo: para cada dos puntos de R distintos,x e y cualesquiera,con x>y tomo entornos UeUx y VeUy
ResponderEliminarU={[x,x+E);E > O}, V={[y,y+D);0 < D < y-x} vemos que la intersección de U y V es vacía, por lo tanto T2. También es normal, ya que para cada dos cerrados disjuntos cualesquiera [a,b) ,[x,y) tomamos dos abiertos que los contengan, que coinciden con ellos mismos, y la intersección es vacía. Y no es compacto porque un recubrimiento de abiertos de R podría ser U[-n,n],con n natural, y la unión finita de elementos de este tipo no da R.