El borde de un toro es la figura del 8

 Consideramos el toro como el cociente de $I^2/\sim$ donde $I=[0,1]$ y $\sim$ es la relación $(0,t)\sim (1,t)$ y $(t,0)\sim (t,1)$. Consideramos el borde del cuadrado $B=\partial I^2$ y el cociente $B/\sim$. Probamos que dicho cociente es la figura del 8.

Para la figura del 8, consideramos dos esferas tangentes: $Y=S^1(1,0)\cup S^1(-1,0)$. Se define la aplicación $f:B\to Y$ mediante

$$\begin{array}{l} (t,0)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t)+\pi),\sin(2\pi t)+\pi)\\

(t,1)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t)+\pi),\sin(2\pi t)+\pi)\\

(0,t)\mapsto (-1,0)+(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\\

(t,0)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) 

\end{array}$$

Esta aplicación está bien definida, factoriza pues $f(p)=f(q)$ si y sólo si $p\sim q$ y es una identificación porque el dominio es compacto y llega a un espacio Hausdorff. Finalmente, la topología cociente en $B/\sim$ es la topología inducida del toro, pues la aplicación proyeccion de $I^2$ al toro es cerrada (dominio compacto y codominio Hausdorff). 

Por tanto, la aplicación $\tilde{f}\colon B/\sim\to Y$ es un homeomorfismo.

Cosiendo una corona circular para conseguir un toro

Consideramos la corona circular de radios $1$ y $2$, es decir, $$C=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: 1\leq x^2+y^2\leq4\}.$$ Vamos a coser los bordes de la corona para obtener un toro. Cuando estamos diciendo 'cose' nos estamos refiriendo, evidentemente, a definir un espacio cociente. Para ello, definimos la relación de equivalencia que identifica los puntos del borde que se son proporcionales (con proporción positiva), es decir: $$(x,y)R(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} \mbox{son iguales ó}\\ (x',y')=\lambda (x,y), \lambda\in\{1/2,2\}\end{array}\right.$$ Vemos el toro como el producto topológico ${\mathbb S}^1\times{\mathbb S}^1$. Para hallar la identificación, lo que hacemos es llevar el segmento de recta que une $(x,y)$ ($\sqrt{x^2+y^2}=1$) con $2(x,y)$ a una circunferencia de radio $1$. Os dejo los detalles.

Otra manera es pasando por un cilindro, que es homeomorfpo a una corona ...

Toro topológico

En clase nos ha aparecido en un ejercicio una "estructura" que denominamos toro topológico, pero no hemos profundizado mucho en ella. Veamos aquí de qué estamos hablando verdaderamente cuando realizábamos ese ejercicio en la pizarra.

Se llama así a la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia en torno a un eje que no la toque en ninguno de sus puntos. Topológicamente, es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ con la topología producto.

Quizás con un dibujo nos imaginamos mejor qué estamos diciendo:

Aquí estaríamos en el caso que podemos pintar, pero claramente podemos generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias: $T^n=S^1\times\ldots\times S^1$.

Buscando curiosidades sobre el toro he visto una que llama la atención. Cuando jugamos a un videojuego de estrategia, si nos fijamos en el mapa pequeñito observamos como los personajes, cuando viajan hacia el norte aparecen por el sur, es decir, parece que le han dado la vuelta al mundo. Sorprendente. El sitio virtual donde esto ocurre se denomina mundo toroide y se utiliza este tipo de efecto para dar una impresión al jugador de mundo esférico.

(Por Pedro J. Barragán)

Frisos y grupos cristalográficos

Los movimientos rígidos del plano están formados por traslaciones, rotaciones, reflexiones (respecto de una recta) y reflexiones seguidas de deslizamiento (con vector de deslizamiento paralelo a la recta de simetría). Consideremos una figura F del plano y G(F) el conjunto de movimientos del plano que dejan fija F, es decir, g(F)=F, con g\in G(F). Dada una figura F, existe un motivo M,
M\subset F tal que cuando hacemos actuar los movimientos de G(F), obtenemos F.

Si el grupo G(F) tiene un subgrupo de traslaciones T(F), entonces sólo cabe la posibilidad de que T(F) esté generado por una traslación no trivial, o por dos traslaciones linealmente independientes.

Tomamos ahora F como el plano euclídeo.

Un friso es un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección U del plano. Por tanto, T(F) está generado por un elemento. Entonces existe un rectángulo que contiene al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector U. Un friso puede verse como la acción de un grupo generado por una traslación sobre el plano. El espacio cociente por dicha acción es un cilindro. Hay sólo siete formas de generar un friso a partir de un motivo M mínimo. Podéis verlo aquí.

Un mosaico es un motivo que se repite en dos direcciones distintas del plano (las losetas necesarias para recubrir todo el plano). Un grupo cristalográfico es aquél que tiene como subgrupo de traslaciones el generado por dos traslaciones linealmente independientes. Los dos vectores U y V que generan dichas traslaciones determinan un paralelogramo fundamental (loseta). El grupo de traslaciones actúa sobre el plano dando como cociente un toro. Existen 17 grupos cristalográficos. En los mosaicos de la Alhambra de Granada es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano.

Podéis ver más información sobre frisos y grupos cristalográficos en esta página web y en este artículo.

Dos ejemplos "parecidos"

Se considera la base usual $B=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$ y $B'=\{v_1,v_2\}$ otra base de $\mathbb{R}^2$. Se consideran las relaciones de equivalencia $R$ y $S$ definidas en $\mathbb{R}^2$ mediante: $(x,y)R(x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m e_1+n e_2$ y $(x,y) S (x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m v_1+nv_2 $, donde m y n son números enteros. El primer espacio cociente es $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}\times \mathbb{Z}$, es decir, un toro. El segundo cociente es homeomorfo al primero. Para ello basta encontrar un homemorfismo de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo que respete las relaciones $R$ y $S$ de forma que factorice, y la aplicación entre los cocientes sea homeomorfismo. El homeomorfismo que se busca es cualquier aplicación lineal que lleve una base en la otra. El hecho de ser lineal, implica que "respeta".

Un ejemplo parecido, pero no igual, es tomar $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación $R\times R$, donde $R$ identifica $0$ y $1$. El cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$, es decir, un toro. Sea ahora $Y=[0,2]x[1,4]$, con la relación $S\times T$, donde S identifica el $0$ y el $2$ y $T$ el $1$ y $4$. El cociente es de nuevo homeomorfo a $[0,2]/S \times [1,4]/T$, de nuevo el toro. Pero si la forma con la que queremos probar que este espacio cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$ estableciendo un homeomorfismo entre $X$ e $Y$ que factorice, este homeomorfismo (que tiene que respetar las relaciones $R\times R$ y $S\times T$), no tiene porqué ser lineal, sino cualquiera entre un cuadrado y un rectángulo que lleve "lados a lados".

Quitando cilindros

Hemos visto hoy en clase que si quitamos un determinado cilindro a una botella de Klein queda dos bandas de Möbius.

Esto lo podemos hacer para otras superficies, como son una esfera, toro (superficies sin borde) y un cilindro (superficie con borde).

Una esfera menos un cilindro son 2 discos.

Un toro menos un cilindro es 1 cilindro.

Un cilindro menos un cilindro son 2 cilindros.

Espacios cocientes y embebimientos

Hemos definido varios conjuntos cocientes definiendo ciertas relaciones de equivalencia en un cuadrado X. Por ejemplo, hemos "definido" bandas de möbius, toros, cilindros, planos proyectivos, etc. Sin embargo, estos nombres ya han aparecido anteriormente.

Por ejemplo, un toro. Hemos definido un toro T como la superficie de un donuts. En el tema 3 vimos que T era homeomorfo al producto de dos círculos S^1 x S^1. Por tanto, cuando escribimos el conjunto cociente

¿Qué quiere decir que este conjunto X/R es un toro T?

Quiere decir que dicho conjunto cociente es homeomorfo al toro del espacio euclídeo, es decir, existe un embebimiento f:X/R\rightarrow R^3 tal que f(X/R)=T. Concretamente, ese embebimiento es el que aparece en la siguiente sucesión de figuras.

Cuando decimos que la botella de Klein no se puede embeber en el espacio quiere decir que no hay un embebimiento f del correspondiente conjunto cociente X/R en R^3. Las figuras que podéis ver en internet no son homeomorfas a la botella de Klein. Por ejemplo, en la entrada de ayer hay dos enlaces adecuados para ello.

La propiedad de embebimiento falla en el momento que la figura que aparece se autointerseca, pues entonces la aplicación f deja de ser inyectiva.

Hay que hacer dos observaciones. La primera es que lo mismo que le sucede a la botella de Klein pasa con el plano proyectivo. La segunda es que ambos espacios sí se pueden embeber en R^4.