Dos ejemplos "parecidos"

Se considera la base usual $B=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$ y $B'=\{v_1,v_2\}$ otra base de $\mathbb{R}^2$. Se consideran las relaciones de equivalencia $R$ y $S$ definidas en $\mathbb{R}^2$ mediante: $(x,y)R(x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m e_1+n e_2$ y $(x,y) S (x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m v_1+nv_2 $, donde m y n son números enteros. El primer espacio cociente es $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}\times \mathbb{Z}$, es decir, un toro. El segundo cociente es homeomorfo al primero. Para ello basta encontrar un homemorfismo de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo que respete las relaciones $R$ y $S$ de forma que factorice, y la aplicación entre los cocientes sea homeomorfismo. El homeomorfismo que se busca es cualquier aplicación lineal que lleve una base en la otra. El hecho de ser lineal, implica que "respeta".

Un ejemplo parecido, pero no igual, es tomar $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación $R\times R$, donde $R$ identifica $0$ y $1$. El cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$, es decir, un toro. Sea ahora $Y=[0,2]x[1,4]$, con la relación $S\times T$, donde S identifica el $0$ y el $2$ y $T$ el $1$ y $4$. El cociente es de nuevo homeomorfo a $[0,2]/S \times [1,4]/T$, de nuevo el toro. Pero si la forma con la que queremos probar que este espacio cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$ estableciendo un homeomorfismo entre $X$ e $Y$ que factorice, este homeomorfismo (que tiene que respetar las relaciones $R\times R$ y $S\times T$), no tiene porqué ser lineal, sino cualquiera entre un cuadrado y un rectángulo que lleve "lados a lados".