Espacios cocientes y embebimientos

Hemos definido varios conjuntos cocientes definiendo ciertas relaciones de equivalencia en un cuadrado X. Por ejemplo, hemos "definido" bandas de möbius, toros, cilindros, planos proyectivos, etc. Sin embargo, estos nombres ya han aparecido anteriormente.

Por ejemplo, un toro. Hemos definido un toro T como la superficie de un donuts. En el tema 3 vimos que T era homeomorfo al producto de dos círculos S^1 x S^1. Por tanto, cuando escribimos el conjunto cociente

¿Qué quiere decir que este conjunto X/R es un toro T?

Quiere decir que dicho conjunto cociente es homeomorfo al toro del espacio euclídeo, es decir, existe un embebimiento f:X/R\rightarrow R^3 tal que f(X/R)=T. Concretamente, ese embebimiento es el que aparece en la siguiente sucesión de figuras.

Cuando decimos que la botella de Klein no se puede embeber en el espacio quiere decir que no hay un embebimiento f del correspondiente conjunto cociente X/R en R^3. Las figuras que podéis ver en internet no son homeomorfas a la botella de Klein. Por ejemplo, en la entrada de ayer hay dos enlaces adecuados para ello.

La propiedad de embebimiento falla en el momento que la figura que aparece se autointerseca, pues entonces la aplicación f deja de ser inyectiva.

Hay que hacer dos observaciones. La primera es que lo mismo que le sucede a la botella de Klein pasa con el plano proyectivo. La segunda es que ambos espacios sí se pueden embeber en R^4.