Confudámosnos...

... con las palabras conexo, componente, abierto y cerrado.

Una componente conexa es cerrada pues su adherencia, que es más grande, es conexa. Como no puede ser más grande, es igual: una componente es cerrada. Pero no tiene porqué ser abierta (ejemplo: ¿componentes de $Q$, conjunto de números racionales?).

Si el número de componentes es finito, entonces también son abiertos, ya que toda componente es complementario de las demás componentes, que es unión finita de cerrados, es decir, cerrado.

En el ejemplo de clase $A=(R\times\{1\})\cup(R\times\{-1\})$ las dos componentes son conjuntos abiertos. Este ejercicio se puede generalizar fácilmente diciendo que si se tiene una partición del espacio por abiertos conexos, entonces dichos abiertos coinciden con las componentes conexas. Este resultado es una condición suficiente ya que, como he escrito antes, $Q$ es unión de sus componentes que no son abiertos.

Reflexionad...

Un caso especial de conjuntos conexos

Un espacio topológico donde dos abiertos NO triviales SIEMPRE se interseca es conexo. Cuando se dice que un abierto es trivial, nos referimos a que es el conjunto vacío, o es todo el espacio. Efectivamente, si $X=A\cup B$ es una partición por abiertos, ya que $A\cap B=\emptyset$, entonces alguno de ellos es trivial. Supongamos que $A=X$. Como $B$ es disjunto de $A$, entonces $B$ es el conjunto vacío. Si $A=\emptyset$ y como $X=A\cup B$, entonces $B=X$.

Mostramos dos ejemplos de cómo se aplica el resultado es el siguiente: $R$ con la topología a derechas es conexo. La topología a derechas es la generada por $\beta=\{[a,\infty);a\in R\}$. Ya que los abiertos son uniones de elementos de $\beta$ y dos elementos de $\beta$ se intersecan, lo mismo le sucede a los abiertos.

El otro ejemplo es la topología del punto incluido, que también es conexa: ya que cualquier abierto no trivial contiene al punto prefijado, entonces dos abiertos no triviales siempre se intersecan.

Toro topológico

En clase nos ha aparecido en un ejercicio una "estructura" que denominamos toro topológico, pero no hemos profundizado mucho en ella. Veamos aquí de qué estamos hablando verdaderamente cuando realizábamos ese ejercicio en la pizarra.

Se llama así a la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia en torno a un eje que no la toque en ninguno de sus puntos. Topológicamente, es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ con la topología producto.

Quizás con un dibujo nos imaginamos mejor qué estamos diciendo:

Aquí estaríamos en el caso que podemos pintar, pero claramente podemos generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias: $T^n=S^1\times\ldots\times S^1$.

Buscando curiosidades sobre el toro he visto una que llama la atención. Cuando jugamos a un videojuego de estrategia, si nos fijamos en el mapa pequeñito observamos como los personajes, cuando viajan hacia el norte aparecen por el sur, es decir, parece que le han dado la vuelta al mundo. Sorprendente. El sitio virtual donde esto ocurre se denomina mundo toroide y se utiliza este tipo de efecto para dar una impresión al jugador de mundo esférico.

(Por Pedro J. Barragán)

Producto de la topología del punto excluido por sí misma

Sean X e y dos conjuntos, $a\in X, b\in Y$ y $T$ y $S$ las topologías del punto excluido en $X$ e $Y$, para los puntos $a$ y $b$, respectivamente. En $X\times Y$ se toma la topología $T^\prime$ del punto excluido para el punto $(a,b)$. En clase se propuso que se compararan las topologías $T\times S$ y $T^\prime$. Un ejercicio parecido se hizo para las topologías del punto incluido.

Veamos primero que $T\times S\subset T^\prime$. Para ello es suficiente con probar que si $O\in T, G\in S$, entonces $O\times G\in T^\prime$. Si $T=X$, $G=Y$, entonces es evidente que $O\times G\in T^\prime$. Supongamos ahora el caso que $a\not\in O$. Entonces $(a,b)\not\in O\times G$, y por tanto, $ O\times G\in T^\prime$.

Por otro lado, la inclusión $T^\prime\subset T\times G$ no tiene porqué darse. Damos un contraejemplo. Sea $X=Y=\mathbb{R}$, $a=b=0$. El conjunto $V=\{(1,0)\}$ pertenece a $T^\prime$, sin embargo no es abierto en $T\times S$. Para ello, es suficiente con darse cuenta que el punto $(1,0)$ no es interior (para la topología $T\times T$) del conjunto: si lo fuera, existirían $O,G\in T$ tales que $(1,0)\in O\times G\subset V$. Como $0\in G$, entonces $G=\mathbb{R}$. Pero es evidente que $O\times\mathbb{R}\not\subset V=\{(1,0)\}$.