Continuando con la frontera

De nuevo esta entrada tiene que ver con la frontera de un conjunto y con una propiedad que tiene el interior y la adherencia de un conjunto. Se sabe que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset B\subset X$ entonces $int(A)\subset int(B)$. La pregunta que propongo es si es cierto la propiedad análoga para la frontera, es decir, si $Fr(A)\subset Fr(B)$.

Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.

Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si $A=(0,1)$ y $B=[0,1]$. Entonces $Fr(A)=Fr(B)$, luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos $A$ por $A=\{0,1\}$.

Frontera de frontera

Es conocido que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset X$ entonces $int(int(A))=int(A)$ y que $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$. Dicho con otras palabras, si $f:{\cal P}(X)\rightarrow {\cal P}(X)$ es la aplicación $f(A)=int(A)$, entonces $f\circ f=f$, es decir, $f$ es idempotente. Y lo mismo para la adherencia.

La pregunta que me hago es si pasa lo mismo para la 'frontera'. Por ejemplo, ¿$Fr(Fr(A))=Fr(A)$?

Si la respuesta es que no, ¿hasta dónde podríamos llegar?, quiero decir, cuántas veces podemos hacer 'frontera de' hasta que nos quede siempre el mismo conjunto (si fuera posible).

Relacionado con lo anterior, pregunto si es posible que exista un espacio topológico y un conjunto $A\subset X$ de forma que cada vez que haga la frontera salga conjuntos diferentes. Concretamente, la pregunta es si existe un conjunto $A\subset X$ tal que si llamo $A_1=A$ y $A_{n+1}=Fr(A_n)$, los conjuntos $A_n$ son todos distintos.

También, si existen conjuntos $A$ tales que la sucesión $\{A_n\}$ haga cosas 'raras', por ejemplo, que sea oscilante, es decir, que a partir de un cierto lugar, $A_{n}=A_{n+2}$.

Pocos comentarios en el blog

Esta entrada es para hacer un comentario sobre los comentarios que se realizan en el blog. Al paso del tiempo, y excepto en pequeñas temporadas donde comentar en el blog significaba nota de clase, observo que apenas hay comentarios y participación en el blog.

También sé que el número de visitas al blog es relativamente alto para el tipo de blog que es (¡sobre topología en los estudios de Matemáticas!). Por ejemplo, las visitas semanales en este último mes rondan las 600. Además, se deduce de las estadísticas que aporta Google Analytics, que la mayor parte de esas visitas no son de estudiantes de 'Granada' sino de muchos y variados lugares, por ejemplo, de Hispanoamérica.

Sin embargo esto no repercute en esa participación y pienso que, por parte de los estudiantes, el blog se transforma en un 'amontonar apuntes', lo cual no está mal, pero pienso que un blog es algo más que 'leer y acumular'.

Una sucesión con infinitos límites

Ya sabemos que en un espacio métrico, el límite de una sucesión convergente es único. Si el espacio topológico no es métrico, puede haber más límites. Éste es el caso del ejemplo que salió ayer en clase y que pongo en el el blog.

En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ se considera la topología que tiene por abiertos los conjuntos de la forma $A_n=\{n,n+1,\ldots\}$. Este espacio no es Hausdorff y por tanto, no es metrizable.

Tomamos la sucesión $\{x_n\}=\{n\}$ y veamos que converge a cualquier número natural $m\in \mathbb{N}$. Para ello, consideramos una base de entornos de $m$ en esta topología, que no es más que $\beta_m=\{A_m\}$. Hay que probar que existe $\nu\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq \nu$, entonces $x_n\in A_m$. Basta tomar $\nu=m$.

De este ejemplo, podemos tomar más, por ejemplo, la sucesión de números pares $\{2n\}$ converge a cualquier número natural.

Esto no quiere decir que toda sucesión convergente tiene más de un límite. Por ejemplo, la sucesión constante $\{1,1,\ldots\}$ sólo converge a $1$. Para acabar, podéis probar que toda sucesión en $\mathbb{N}$ es convergente y que $1$ es un límite de toda sucesión.