Es conocido que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset X$ entonces $int(int(A))=int(A)$ y que $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$. Dicho con otras palabras, si $f:{\cal P}(X)\rightarrow {\cal P}(X)$ es la aplicación $f(A)=int(A)$, entonces $f\circ f=f$, es decir, $f$ es idempotente. Y lo mismo para la adherencia.
La pregunta que me hago es si pasa lo mismo para la 'frontera'. Por ejemplo, ¿$Fr(Fr(A))=Fr(A)$?
Si la respuesta es que no, ¿hasta dónde podríamos llegar?, quiero decir, cuántas veces podemos hacer 'frontera de' hasta que nos quede siempre el mismo conjunto (si fuera posible).
Relacionado con lo anterior, pregunto si es posible que exista un espacio topológico y un conjunto $A\subset X$ de forma que cada vez que haga la frontera salga conjuntos diferentes. Concretamente, la pregunta es si existe un conjunto $A\subset X$ tal que si llamo $A_1=A$ y $A_{n+1}=Fr(A_n)$, los conjuntos $A_n$ son todos distintos.
También, si existen conjuntos $A$ tales que la sucesión $\{A_n\}$ haga cosas 'raras', por ejemplo, que sea oscilante, es decir, que a partir de un cierto lugar, $A_{n}=A_{n+2}$.
La pregunta que me hago es si pasa lo mismo para la 'frontera'. Por ejemplo, ¿$Fr(Fr(A))=Fr(A)$?
Si la respuesta es que no, ¿hasta dónde podríamos llegar?, quiero decir, cuántas veces podemos hacer 'frontera de' hasta que nos quede siempre el mismo conjunto (si fuera posible).
Relacionado con lo anterior, pregunto si es posible que exista un espacio topológico y un conjunto $A\subset X$ de forma que cada vez que haga la frontera salga conjuntos diferentes. Concretamente, la pregunta es si existe un conjunto $A\subset X$ tal que si llamo $A_1=A$ y $A_{n+1}=Fr(A_n)$, los conjuntos $A_n$ son todos distintos.
También, si existen conjuntos $A$ tales que la sucesión $\{A_n\}$ haga cosas 'raras', por ejemplo, que sea oscilante, es decir, que a partir de un cierto lugar, $A_{n}=A_{n+2}$.
Difícil la pregunta... hasta ahora, sólo he sabido probar que, sea A un conjunto y Fr(A) su frontera. Entonces, si existe Fr(A), Fr(Fr(A)) es no vacía.
ResponderEliminarCualquier novedad la comentaré aquí...
En R con la topología usual, tomamos A=[0,1]. Entonces su frontera es {0,1} y la frontera de este conjunto es de nuevo {0,1}. De esta forma, tendríamos en la sucesión A_n, una sucesión constante.
ResponderEliminarSi tomamos en R la topología que tiene por base [a,infinito) y si A=[0,1], su frontera es (-infinito,1] y la frontera de éste es el propio conjunto, luego de nuevo tenemos una sucesión constante.
ResponderEliminarSea ($X$,$\tau$) espacio topol\'ogico, $A\subset X$ subconjunto de $X$ y $FR(A)$ la frontera del conjunto. Por definici\'on sabemos:
ResponderEliminar\begin{center}
$FR(A) = \overline{A} \cap \overline{X - A}$\\
$FR(FR(A)) = \overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{X - A}}$\\
\end{center}
\newline Adem\'as sabemos que $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$ por tanto:
\begin{center}
$FR(FR(A)) = \overline{A} \cap \overline{X - A} = FR(A)$\\
$FR(FR(A)) = FR(A)$\\
\end{center}
\newline \begin{flushright} p.q.e.d.\\
\end{flushright}
Sea ($X$,$\tau$) espacio topologico, $A\subset X$ subconjunto de $X$ y $FR(A)$ la frontera del conjunto. Por definicion sabemos:
ResponderEliminar$FR(A) = \overline{A} \cap \overline{X - A}$\\
$FR(FR(A)) = \overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{X - A}}$\\
Ademas sabemos que $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$ por tanto:
$FR(FR(A)) = \overline{A} \cap \overline{X - A} = FR(A)$\\
$FR(FR(A)) = FR(A)$\\
No, el operador Frontera no es idempotente. Sea $\mathbb{R}$ con topología usual y sea $A=\mathbb{Q}$ entonces $Fr(Fr(A))=\emptyset$, mientras que $Fr(A) = \mathbb{R}$.
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