Ya sabemos que en un espacio métrico, el límite de una sucesión convergente es único. Si el espacio topológico no es métrico, puede haber más límites. Éste es el caso del ejemplo que salió ayer en clase y que pongo en el el blog.
En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ se considera la topología que tiene por abiertos los conjuntos de la forma $A_n=\{n,n+1,\ldots\}$. Este espacio no es Hausdorff y por tanto, no es metrizable.
Tomamos la sucesión $\{x_n\}=\{n\}$ y veamos que converge a cualquier número natural $m\in \mathbb{N}$. Para ello, consideramos una base de entornos de $m$ en esta topología, que no es más que $\beta_m=\{A_m\}$. Hay que probar que existe $\nu\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq \nu$, entonces $x_n\in A_m$. Basta tomar $\nu=m$.
De este ejemplo, podemos tomar más, por ejemplo, la sucesión de números pares $\{2n\}$ converge a cualquier número natural.
Esto no quiere decir que toda sucesión convergente tiene más de un límite. Por ejemplo, la sucesión constante $\{1,1,\ldots\}$ sólo converge a $1$. Para acabar, podéis probar que toda sucesión en $\mathbb{N}$ es convergente y que $1$ es un límite de toda sucesión.
En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ se considera la topología que tiene por abiertos los conjuntos de la forma $A_n=\{n,n+1,\ldots\}$. Este espacio no es Hausdorff y por tanto, no es metrizable.
Tomamos la sucesión $\{x_n\}=\{n\}$ y veamos que converge a cualquier número natural $m\in \mathbb{N}$. Para ello, consideramos una base de entornos de $m$ en esta topología, que no es más que $\beta_m=\{A_m\}$. Hay que probar que existe $\nu\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq \nu$, entonces $x_n\in A_m$. Basta tomar $\nu=m$.
De este ejemplo, podemos tomar más, por ejemplo, la sucesión de números pares $\{2n\}$ converge a cualquier número natural.
Esto no quiere decir que toda sucesión convergente tiene más de un límite. Por ejemplo, la sucesión constante $\{1,1,\ldots\}$ sólo converge a $1$. Para acabar, podéis probar que toda sucesión en $\mathbb{N}$ es convergente y que $1$ es un límite de toda sucesión.
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