El teorema complemento-clausura de Kuratowski

Como ya hemos visto en las últimas entradas, Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico a través de una aplicación $f:P(X)\rightarrow P(X)$ con unas propiedades de forma que los conjuntos cerrados eran, por definición, aquéllos $A\subset X$ tales que $f(A)=A$. Justamente las propiedades de la aplicación $f$ son las de la adherencia que ya conocemos en un espacio topológico.

Kuratowski planteó el siguiente problema. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $(X,\tau)$ ¿cuántos conjuntos diferentes pueden obtenerse de $A$ cuando tomo adherencias y complementarios en el orden y veces que uno quiera?

Para que nos aclaremos con el problema, introducimos la siguiente notación de las dos operaciones. Dado un conjunto $A\subset X$, denoto $a(A)=\overline{A}$ y $b(A)=X-A$. Cuando escriba, por ejemplo, $aab(A)$, esto quiere decir que primero hacemos $b$, luego $a$ y finalmente $a$, es decir, el orden de las operaciones viene dado por la 'cercanía' al símbolo $A$. Así,
$$aab(A)=X-(X-\overline{A}),\ baba(A)=X-\overline{X-\overline{A}}.$$
¡Esto es un juego! El problema en cuestión también aparece en el libro de  Munkres, 'Topology I' y en el de Kelley 'General Topology', Van Nostrand. página 57 (podéis visualizar esta página en internet si buscáis este libro).

Pero sabemos algunas propiedades de las operaciones $a$ y $b$. Así, $aa(A)=A$ y $bb(A)=A$. El resultado que probó Kuratowski es el siguiente:

Teorema. Como mucho hay 14 conjuntos diferentes. Adémás, existen conjuntos donde se alcanza la igualdad. 

Las operaciones concretas son la siguientes:$$\{id,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa, babab,ababab,bababa,bababab\}$$Un ejemplo de un conjunto donde se tienen exactamente los 14 conjuntos es $$A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap\mathbb{Q})$$ en la recta euclídea $\mathbb{R}$.

Podéis ver demostraciones en:
http://www.math.cornell.edu/~riley/Teaching/Topology2009/essays/Strabel.pdf
http://abhishekparab.files.wordpress.com/2010/10/kuratowski_closure_complement_problem.pdf

Una nota histórica

Por las dos entradas previas, y buscando en internet, he caido en el libro "Introducción a la Topología" de Margalef y Outerelo, donde en la página 230 viene una "Nota histórica" que me parece muy interesante y que recoge quiénes fueron los primeros en hablar de 'espacios topológicos', 'abierto", "interior", etc. Transcribo íntegramente dicha nota.

"La definición de espacio topológico, como se entiende actualmente, fue dada por K. Kuratowski en 1922 en el artículo "Sur l'operation $\overline{A}$ de l'Analysis Situs", publicado en la revista Fundamenta Mathematica V.3, 182-199. Para ello utilizó el operador de adherencia.

Las nociones de conjunto abierto, conjunto cerrado, adherencia e interior fueron introducidas por G. Cantor, en una serie de artículo publicados entre 1879 y 1884, en la clase de subconjuntos de los espacios euclídeos. Estos conceptos fueron generalizados por F. Hausdorff en 1914 a espacios topológicos abstractos.

Las nociones de frontera de un conjunto, conjunto derivado y conjunto denso fueron introducidas por G. Cantor. Los espacios separables fueron definidos por M. Frechet en 1906. Los espacios topológicos $T_1$ fueron introducidos por Riesz en 1907."

He intentado buscar en MathScinet dichos artículos, pero son muy antiguos y no logro tenerlos.Sí he visto el artículo en http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf. Podéis comparar con las propiedades de la aplicación $f$ de la entrada anterior. También que aparecen propiedades de la adherencia de conjuntos. ¡Fijaros que no usa la notación $A\cup B$ sino $A+B$, $A\times B$ por $A\cap B$, el complementario de $A$ por $A^1$ y que $X$ lo denota por $1$! En la página 5 aparece 'conjunto cerrado' (...est dit fermé...) y en la siguiente, 'frontera' (=bord) e interior (=l'interieur). Concretamente en dicha página aparece la propiedad $\overline{X-A}=X-int(A)$ escrita diciendo que el interior de $A$ es $A^{1-1}$. Finalmente, en la página 7 aparece la palabra 'abierto', dicienco que un dominio es abierto (domain ouvert) si $A=A^{1-1}$.

Por otro lado, en la página web "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics", no he visto de forma clara esas asignaciones: por ejemplo, leer la entrada correspondiente a "topological space".

Recordando a Kuratowski (II)

De la misma forma que en la entrada anterior, podemos trabajar con adherencias y cerrados.

TEOREMA. Sea $X$ y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(\emptyset)=\emptyset$,
2. $A\subset f(A), \forall A\subset X$,
3. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $\overline{A}=f(A), \forall A\subset X$.

Concretamente, fue así como Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico.

Tenemos ahora dos formas de probar el teorema. La primera es, de forma análoga a la entrada anterior, definir la familia de cerrados como aquellos conjuntos $A$ tales que $f(A)=A$.

La segunda es pasar por el resultado de la entrada anterior. Como sabemos que en un espacio topológico,
$int(A)=X-\overline{X-A}$, definimos $g: P(X)\rightarrow P(X)$ mediante $$g(A)=X-f(X-A).$$Quedaría por probar que $g$ satisface las propiedades de la entrada anterior (para ello hay que usar las que tiene $f$). Una vez esto, $int(A)=g(A)$ y por tanto,  usando la definición de $g$, concluimos
$$\overline{A}=X-int(X-A)=X-g(X-A)= X-(X-f(A))=f(A).$$

Rercordando a Kuratowski

A continuación introducimos el concepto de espacio topológico siguiendo ideas de Kuratowski. La idea es tomar las propiedades del interior de un conjunto. Así tenemos el siguiente resultado:

Sea $X$ un conjunto y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(X)=X$,
2. $f(A)\subset A, \forall A\subset X$,
3. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $int(A)=f(A), \forall A\subset X$.

Nos damos cuenta que justamente la aplicación $f$ tiene las mismas propiedades que la operación interior en un espacio topológico. Evidentemente, la familia $\tau$ se define como aquellos conjuntos $O\subset X$ que satisfacen $f(O)=O$. Os dejo como ejercicio probar que $\tau$ es, efectivamente, una topología en $X$.

Queda por probar que  $int(A)=f(A)$. Por la propiedad 4) y la definición de $\tau$, $f(A)$ es un conjunto abierto. Además, por la propiedad 2), $f(A)\subset A$. Por tanto, $f(A)\subset int(A)$ ya que $int(A)$ es el conjunto abierto más grande incluido en $A$. Por otro lado, como $int(A)\subset A$, $f(int(A))\subset f(A)$. Como $int(A)$ es un abierto, $f(int(A))=int(A)$, luego $int(A)\subset f(A)$, teniendo ya la otra inclusión.