Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso si su adherencia es X. Esto significa que todo punto de X es adherente a A, es decir, todo abierto de X interseca a A. De forma equivalente, A es denso si dada una base de abiertos de X, todo elemento de la base interseca a A.
El ejemplo típico es considerar el conjunto de los números racionales Q en R, con la topología usual. Tomamos la base usual de R, es decir, los intervalos abiertos. Entonces, todo intervalo interseca a Q, ya que entre dos números reales, existe un número racional. De la misma forma, el conjunto de los números irracionales es denso en R.
A continuación pongo cómo el mismo subconjunto A en X es denso o no, cambiando la topología en X. Tomamos X=R^2 y
A=\{0\}\times R. - Consideramos en R^2 la topología usual. Entonces A no es denso en R^2. Por ejemplo, si tomamos el punto p=(2,0) y su entorno dado por la bola
B_1(p), entonces esta bola no interseca a A. En verdad, la adherencia de A es el propio A, es decir, A es un conjunto cerrado. - Tomamos en R^2 la topología que tiene por base la familia
\beta=\{B_y=R\times\{y\};y\in R\}.Entonces todo elemento deB_yinterseca a A, concretamente, el punto(0,y)\in B_y\cap A.
¿Puede haber más de uno?, sí, ¿verdad?
ResponderEliminarSi, si en lugar de las rectas horizontales, tomamos como base las diagonales a un lado o a otro, las parábolas...todas las bases cuyos elementos corten al eje y.yo creo que si.
ResponderEliminarPara Ana: cambiamos de bases, por ejemplo, la de las diagonales. Entonces la topología cambia. ¿la cuestión es si {0}xR es denso? Cuando Ruiz se refería a si había más creo entender que el espacio topológico es fijo. La pregunta es si hay más conjuntos densos. En la recta euclídea, estaba los racionales y los irracionales. Pero es que si A es un conjunto denso, entonces cualquier conjunto que lo contiene también es denso, ya que si A c B, la adherencia de A está incluida en la de B, y por tanto, la adherencia de B es todo el espacio. Por ejemplo, en R, sea A el conjunto de los racionales junto otro subconjunto cualquiera de R. Entonces este nuevo conjunto es denso.
ResponderEliminarEn el siguiente ejercicio también se puede ver que hay mas de uno, ¿no?
ResponderEliminarSea la topología T={vacio, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X={a,b,c,d,e}}
La adherencia de {a,c} = X y la adherencia de {a,d} = X. Por lo tanto, el conjunto {a,c} y {a,d} son subconjuntos densos de X
Perdon, había dado por hecho que al tomar la topología que tiene como base las rectas verticales se tenía que A era denso en esa topología, lo es o no?
ResponderEliminarRuiz a que te refieres ¿a si es denso en más sitios o si en ese sitio hay más conjuntos densos?
(Para Ana) El conjunto A no es denso tomando como base las rectas verticales: la adherencia de A es A (A es cerrado por ser el complementario de la unión del resto de las rectas verticales). Cuando se pregunta de más sitios ¿significa dejando X y cambiando la topología?
ResponderEliminarSi, pero creo que no lo he entendido bien, y por mucho que lo leo lo sigo entendiendo igual, si lo hubiera entendido bien, no habria confusion con mi comentario. mi pregunta era que si A es denso tomando otras topologias en X o si con ese X y esa topologia hay más Aes densos, no se si me explico.
ResponderEliminarEn principio, yo había entendido lo segundo, es decir, si en un espacio topológico hay más de un conjunto denso. De ahí lo que había dicho: si A es denso, cualquier subconjunto que lo contiene también lo es. Por tanto, hay montones de conjuntos densos en un espacio topológico (si hay uno, claro).
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