Ser bello no es una propiedad topológica

Una propiedad topológica es una propiedad que se mantiene por homeomorfismos. Pero ¿cuántas propiedades topológicas hay? Me imagino que muchas, muchísimas. Por cierto, ¿hay propiedad que no son topológicas? Evidentemente que sí. Un alumno me ha comentado al salir de clase que "propiedades hay muchas" y por tanto, uno las puede utilizar para estudiar si dos espacios no son homeomorfos. No. Hay que ver primero cuáles de ellas son topológicas. Pongo tres ejemplos de propiedades que no son topológicas.

1. Sea la propiedad "tener al 1 como elemento". Si (X,T) es un espacio topológico que tiene al 1 como elemento e (Y,T') es otro espacio homeomorfo a (X,T), no hay manera de saber si el 1 es o no elemento de Y. Es más, existen espacios homeomorfos de forma que uno tiene al 1 como elemento y el otro no: Sea X=\{1,2\} e Y=\{0,2\} ambos con la topología discreta. Entonces cualquier biyección entre ambos espacios es un homeomorfismo. Sin embargo X satisface la propiedad e Y no.

2. Ser bello no es una propiedad topológica. Primero, precisamos qué estamos haciendo. Lo podemos hacer en el conjunto de las personas. Consideramos todas las personas, como subconjuntos del espacio euclídeo y con la topología usual. Supongamos que sabemos cuándo una persona es bella o no, por ejemplo, si es bella sólo en la cara. Imaginemos que la piel de la persona se puede moldear (como si fuera plastilina), de forma que podamos estirar de un lado y encoger de otro, tal como hacen los cirujanos plásticos. Entonces es evidente que a una persona P1 que NO es bella (no satisface la propiedad) le podemos deformar la cara hasta hacerla guapa, a base de estiramiento por aquí y por allá. Llamamos P2 a la persona resultante (la misma que antes, pero cambiada la cara). Entonces todo el proceso de estiramiento/encogimiento no es más que haber realizado un homeomorfismo de P1 a P2. Esto prueba que ser bello no es una propiedad topológica.

3. Ser bajo no es una propiedad topológica. Supongamos, considerando el mismo conjunto de espacios topológicos que antes (¡las personas!), que decimos "una persona es baja si mide menos de 1'50 m." Entonces "ser bajo no es una propiedad topológica". Podemos imaginar una persona joven, que mida menos de 1'50 y la llamamos P1. En su periodo de crecimiento, su cuerpo se va estirando, y llegado el momento, sobrepasa esa medida, dejando de ser bajo. Llamamos P2 a esa "nueva" persona. Entonces hay un estiramiento de la persona que hace establecer un homeomorfismo entre P1 y P2. Esto prueba que ser bajo no es una propiedad topológica. ¡También hay ejercicios de estiramiento que hacen crecer un poco la estatura de las personas! y si no, ver este enlace.