Y la capital de España es Madrid

Una de las consecuencias del ejercicio escrito que se hizo en clase el viernes pasado es que aparece un problema que surge muchas veces en clase: ¿qué es un razonamiento? Al menos podemos decir qué no es un razonamiento.

Pongo un ejemplo: ante la pregunta de si cierto conjunto es o no abierto, se responde "El conjunto A es abierto ya que para cada punto suyo podemos encontrar un entorno que queda dentro del conjunto".

En otro ejercicio para probar que el interior de un conjunto A es vacío se escribe "Si tomamos x perteneciente a A no existe ningún elemento de la base, es decir, ninguna bola, contenida en A, en la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, luego el interior es vacío".

Estos dos ejemplos son una muestra de lo que no es un razonamiento. En el primer ejemplo, el alumno escribe la caracterización de conjunto abierto mediante entornos; en el segundo, uno quiere probar que el interior el vacío, y entonces escribe lo que no es haber puntos interiores.

Una forma de saber si es o no un razonamiento, es la siguiente: siguiendo el primer ejemplo anterior, supongamos que nos dan un espacio topológico, un subconjunto suyo y queremos saber si es abierto o no. Después del intento de solución que hayamos hecho nos preguntamos ¿dónde hemos usado que el espacio topológico que nos dan?; si cambiamos de topología manteniendo el mismo conjunto, ¿podemos usar el mismo argumento? En definitiva, en algún momento del razonamiento tenemos que usar el espacio y el conjunto A, la forma que están definidos, y sus propias características.

Y para acabar, pongo otro ejemplo de "no razonamiento" y que da título a esta entrada. Ante una pregunta, se responde con una proposición verdadera, pero que no tiene nada que ver con la pregunta realizada. Un ejemplo simple sería "¿qué es un conjunto cerrado?" "en la topología discreta todos los conjuntos son cerrados". La "respuesta" es una proposición verdadera, pero no responde a la pregunta realizada. Es como si hubiéramos dicho "La capital de España es Madrid" ¿y?