Homeomorfismos con topologías conocidas

Esta entrada viene motivada porque se ha definido diferentes topologías ("con nombre") en un mismo conjunto, y parece natural pensar que entonces no son homeomorfas. Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales tenemos la topología T1 formada por los conjuntos A_n=\{1,2,\ldots,n\} y la topología T2 de los conjuntos B_n=\{n,n+1,\ldots\}. Entonces (N,T1) no es homeomorfos a (N,T2) ya que si hubiera algún homeomorfismo, llevaría abiertos en abiertos, pero los abiertos en T1 son conjuntos finitos y en T2 no.

La pregunta que hago es al revés: dado un conjunto X con dos topologías diferentes, ¿pueden ser homeomorfos ambos espacios? Cuando en clase hemos hecho ejemplos de homeomorfismos, los conjuntos eran diferentes.

Un ejemplo, trivial, de que sí son homeomorfos es el siguiente. Sea X=R el conjunto de los números reales con la topología usual T1. Sea f una aplicación biyectiva (¡cualquiera!) de R en R. Se define T2=f(T1). Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) es un homeomorfismo. Sin embargo los elementos de T2, es decir, los abiertos en esa topología ¡pueden ser conjuntos raros!

Pero buscando un ejemplo entre espacios más conocidos tenemos los dos siguientes:

1. Topología de Sierpinski. Sea X=\{a,b\} con las topologías T_1=\{\emptyset,X,\{a\}\} y T_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}. Entonces la aplicación f dada por f(a)=b y f(b)=a es un homeomorfismo de (X,T1) en (X,T2).

2. En R consideramos las topologías T1 generada por los intervalos de la forma [a,\infty) y T2 por los intervalos (-\infty),a] . Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) dada por f(x)=-x es un homeomorfismo.