Topología producto: palabras que suenan bien II

"Continuando" con la entrada del 10 de diciembre del año pasado, nos preguntamos por cómo las palabras sonarían bien con la topología producto. Esta entrada es para insistir en un comentario que se hizo en clase sobre la topología de Sorgenfrey y topología producto.

No tiene sentido preguntarse si el producto de la topología de Sorgenfrey por sí misma es de nuevo la topología de Sorgenfrey. La topología de Sorgenfrey T_S es una topología definida en el conjunto de los números reales R. Si se hace el producto topológico, se tendría la topología producto T_S x T_S en R^2, y no nos podemos preguntar si T_S x T_S es la "topología de Sorgenfrey" en R^2.

Pero sí podemos tomar subconjuntos de R^2 "parecidos" a conjuntos de números reales, tales como rectas y preguntarnos si la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey.

Ya se comentó en clase que la recta y=-x hereda la topología discreta, luego NO es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey. Consideramos ahora la recta y=0, es decir, A=\{(x,0);x\in \mathbb{R}\}. Entonces A, con la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey, ya que en un espacio producto X\times \{q\} \cong X.

Consideramos el conjunto B dado por la recta y=x. De nuevo, B es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey ya que B es la diagonal de (RxR,T_S,T_S) y se sabe que la diagonal es homeomorfa a cada uno de los factores.

Finalmente, podemos considerar los conjuntos A_m=\{(x,mx);x\in\mathbb{R}\}, es decir, las rectas y=mx, y preguntarnos para qué valores de m, el conjunto A_m es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey: sabemos que para m=-1 no, y para m=0,1, sí.