Planteo el siguiente problema que ha surgido en clase. Sea $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ un homeomorfismo, donde $\tau_u$ es la topología usual ¿entonces $\tau$ es la topología usual? Es decir, ¿la única topología homeomorfa a la topología usual es ella misma?
La respuesta es no.
Un ejemplo es el siguiente. Sea f cualquier biyección de $R$ en $R$ y sea $\tau$ la topología $f(\tau_u)$. Entonces es evidente que $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es un homeomorfismo, y $\tau$ no tiene porqué ser $\tau_u$. Como ejemplo explícito de ello es la aplicación $f(x)=x$ si $x$ no es ni $0$ ni $2$, y f(0)=2 y f(2)=0. Entonces $(-1,1)\in\tau_u$ luego $f(-1,1)\in\tau$ es decir $((-1,1)-\{0\})\cup\{2\}$. Pero este conjunto no es un elemento de $\tau_u$.
Otro ejemplo análogo, pero cambiando el conjunto de los números reales es $X=\{a,b\}$. Consideramos $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{b\}\}$. Entonces la aplicación $f:(X,\tau)\rightarrow (X,\tau')$ dada por $f(a)=b$ y $f(b)=a$ es un homeomorfismo, pero $\tau'\not=\tau$.
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