En esta entrada queremos probar que todos los polígonos del plano son homeomorfos. Consideraremos, para simplificar, polígonos regulares.
La idea se basa en coger un polígono de n lados tal que $n>3$ para convertirlo en uno de $n-1$ lados. Se podría hacer la operación tantas veces como se quiera (hasta llegar a un polígono de $n=3$ lados) y usar su inversa para crear uno de $n+1$ lados. Sea $P_n$ un polígono regular de n lados cuyos vértices son: $\{v_1,\ldots,v_n\}$ con $v_k=(\cos(\frac{2k\pi}{n}),\sin(\frac{2k\pi}{n}))$.
Si cogiéramos los cuatro primeros vértices podemos formar un polígono de 4 lados. Tenemos las diagonales $v_1v_3$ y $v_2v_4$. La idea es trabajar con la diagonal $v_1v_3$ y llevar (empujar) $v_2$ hacia esta diagonal a lo largo de una dirección de 45 grados. Para ello vamos a sacar la ecuación de la recta de la diagonal $v_1v_3$.
Supongamos que los puntos $v_k$ tienen coordenadas $(x_k,y_k)$. Entonces la diagonal $v_1v_3$ tiene pendiente $m=(y_3-y_1)/(x_3-x_1)$ y la recta tiene de ecuación $Y=y_3+m(X-x_3)$. Cogemos ahora un punto $(x,y)$ de los lados $v_3v_4$ o $v_4v_1$. La ecuación de la recta que pasa por $(x,y)$ con pendiente 1 es $Y=y+(X-x)$. La intersección de esta recta con la diagonal $v_1v_3$ es $$f(x,y)=(-\frac{(x_3-x_1)x+x_3y_1+(x_1-x_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3},\\
-\frac{(y_3-y_1)x+x_3y_1+(y_1-y_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3}).$$
Esta sería expresión del homeomorfismo. Para la inversa, el proceso sería algo más complicado porque una parte de la diagonal iría al lado $v_3v_4$ y la otra al lado $v_4v_1$
(por Rafael Muñoz)
¿se podría probar el resultado de una forma más sencilla y rápida?
haciendo que es homeomorfo a un círculo ? (polígono de infinitos lados)
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