Sobre el Teorema de Borsuk

El Teorema de Borsuk que hemos dado afirma que dada una función continua en la esfera $S^2$, existe un punto donde la función coincide con su antípoda. Podemos afirmar que no sólo hay uno, sino infinitos.

Sea $f$ dicha función. Consideramos círculos máximos de la esfera, es decir, intersecciones de la esfera con planos que pasan por el centro de la misma. Estos círculos máximos son circunferencias con el mismo radio que la esfera y todo punto de cada círculo tiene un punto antípoda en dicho círculo.

Consideramos ahora un círculo máximo $C_1$ y restringimos f a dicho conjunto. Usando el Teorema de Bolzano del mismo modo que se hizo para esfera, existe $p_1$ en $C_1$ tal que $f(p_1)=f(-p_1)$. Sea ahora $C_2$ otro círculo máximo que no pase por $p_1$. para $C_2$ habrá el correspondiente punto $p2$ tal que $f(p2)=f(-p_2)$ y por tanto, distinto de $p_1$. Dicho punto $p_2$ podría estar en $C_1$. Dados $p_1$ y $p_2$ consideramos otro círculo máximo $C_3$ y el correspondiente $p_3$, y así sucesivamente.

Nos podemos preguntar por el tamaño del conjunto $A=\{p\in S^2;f(p)=f(-p)\}$. El razonamiento anterior nos dice que dicho conjunto es infinito numerable, pero no sé si es no numerable. También podría ocurrir que A estuviera contenido en un círculo máximo.

Pero ¿$int(A)\not=\emptyset$?, es decir, ¿existe un conjunto abierto $B$ en la esfera donde $f(p)=f(-p)$ para cualquier punto de $B$?

(por Nico Pérez)

Saber todos los conexos de un espacio

De los ejercicios hechos en clase del tipo si un espacio topológico es conexo o no quiero hacer una pequeña observación. Hay espacios "conocidos" del que nos preguntamos si es conexo. Por ejemplo, la esfera $S^n$. Otra cosa diferente es saber cuáles son todos los conjuntos conexos de la esfera. Esta pregunta tiene en general una respuesta difícil, ya que el número (y complejidad) de los subconjuntos de un espacio topológico es generalmente inmenso.

Sólo en algunos casos contados, se ha dado una respuesta "completa". Por ejemplo, los conjuntos conexos de $R$ con la topología usual son los intervalos. Pero si nos fijamos, pasando sólamente de $R$ a $R^2$, ya nos encontramos con una diversidad de casos y no tenemos una respuesta tan satisfactoria como la que se ha conseguido para $R$.

Todo viene a cuenta del ejemplo de la topología del punto incluido. Se ha visto que un conjunto $X$ con la topología del punto incluido es conexo. Pero también se ha probado cuáles son los conexos de $X$: si el conjunto contiene al punto destacado, entonces es conexo, y si no, no es conexo (a no ser que tenga sólo un punto). La clave en la solución de este problema en este caso concreto es que hemos sido capaces de saber cómo es la topología inducida en un conjunt $A$ de $X$. Concretamente,

• Si $p\in A$, entonces la topología es la topología del punto incluido en $A$ (para el mismo punto destacado).
• Si $p\not\in A$, entonces la topología es la discreta.

Sabido ya cómo es la topología inducida, da la casualidad que para ambas topologías ya se ha estudiado si el espacio es conexo (para la primera sí; para la segunda no, a no ser que el conjunto tenga un único elemento).

Confudámosnos...

... con las palabras conexo, componente, abierto y cerrado.

Una componente conexa es cerrada pues su adherencia, que es más grande, es conexa. Como no puede ser más grande, es igual: una componente es cerrada. Pero no tiene porqué ser abierta (ejemplo: ¿componentes de $Q$, conjunto de números racionales?).

Si el número de componentes es finito, entonces también son abiertos, ya que toda componente es complementario de las demás componentes, que es unión finita de cerrados, es decir, cerrado.

En el ejemplo de clase $A=(R\times\{1\})\cup(R\times\{-1\})$ las dos componentes son conjuntos abiertos. Este ejercicio se puede generalizar fácilmente diciendo que si se tiene una partición del espacio por abiertos conexos, entonces dichos abiertos coinciden con las componentes conexas. Este resultado es una condición suficiente ya que, como he escrito antes, $Q$ es unión de sus componentes que no son abiertos.

Reflexionad...

Un caso especial de conjuntos conexos

Un espacio topológico donde dos abiertos NO triviales SIEMPRE se interseca es conexo. Cuando se dice que un abierto es trivial, nos referimos a que es el conjunto vacío, o es todo el espacio. Efectivamente, si $X=A\cup B$ es una partición por abiertos, ya que $A\cap B=\emptyset$, entonces alguno de ellos es trivial. Supongamos que $A=X$. Como $B$ es disjunto de $A$, entonces $B$ es el conjunto vacío. Si $A=\emptyset$ y como $X=A\cup B$, entonces $B=X$.

Mostramos dos ejemplos de cómo se aplica el resultado es el siguiente: $R$ con la topología a derechas es conexo. La topología a derechas es la generada por $\beta=\{[a,\infty);a\in R\}$. Ya que los abiertos son uniones de elementos de $\beta$ y dos elementos de $\beta$ se intersecan, lo mismo le sucede a los abiertos.

El otro ejemplo es la topología del punto incluido, que también es conexa: ya que cualquier abierto no trivial contiene al punto prefijado, entonces dos abiertos no triviales siempre se intersecan.

Toro topológico

En clase nos ha aparecido en un ejercicio una "estructura" que denominamos toro topológico, pero no hemos profundizado mucho en ella. Veamos aquí de qué estamos hablando verdaderamente cuando realizábamos ese ejercicio en la pizarra.

Se llama así a la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia en torno a un eje que no la toque en ninguno de sus puntos. Topológicamente, es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ con la topología producto.

Quizás con un dibujo nos imaginamos mejor qué estamos diciendo:

Aquí estaríamos en el caso que podemos pintar, pero claramente podemos generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias: $T^n=S^1\times\ldots\times S^1$.

Buscando curiosidades sobre el toro he visto una que llama la atención. Cuando jugamos a un videojuego de estrategia, si nos fijamos en el mapa pequeñito observamos como los personajes, cuando viajan hacia el norte aparecen por el sur, es decir, parece que le han dado la vuelta al mundo. Sorprendente. El sitio virtual donde esto ocurre se denomina mundo toroide y se utiliza este tipo de efecto para dar una impresión al jugador de mundo esférico.

(Por Pedro J. Barragán)

Producto de la topología del punto excluido por sí misma

Sean X e y dos conjuntos, $a\in X, b\in Y$ y $T$ y $S$ las topologías del punto excluido en $X$ e $Y$, para los puntos $a$ y $b$, respectivamente. En $X\times Y$ se toma la topología $T^\prime$ del punto excluido para el punto $(a,b)$. En clase se propuso que se compararan las topologías $T\times S$ y $T^\prime$. Un ejercicio parecido se hizo para las topologías del punto incluido.

Veamos primero que $T\times S\subset T^\prime$. Para ello es suficiente con probar que si $O\in T, G\in S$, entonces $O\times G\in T^\prime$. Si $T=X$, $G=Y$, entonces es evidente que $O\times G\in T^\prime$. Supongamos ahora el caso que $a\not\in O$. Entonces $(a,b)\not\in O\times G$, y por tanto, $ O\times G\in T^\prime$.

Por otro lado, la inclusión $T^\prime\subset T\times G$ no tiene porqué darse. Damos un contraejemplo. Sea $X=Y=\mathbb{R}$, $a=b=0$. El conjunto $V=\{(1,0)\}$ pertenece a $T^\prime$, sin embargo no es abierto en $T\times S$. Para ello, es suficiente con darse cuenta que el punto $(1,0)$ no es interior (para la topología $T\times T$) del conjunto: si lo fuera, existirían $O,G\in T$ tales que $(1,0)\in O\times G\subset V$. Como $0\in G$, entonces $G=\mathbb{R}$. Pero es evidente que $O\times\mathbb{R}\not\subset V=\{(1,0)\}$.