Caso especial de la compactificación de Alexandrov

Sabemos que todo espacio admite una compactificación por un punto. Concretamente, si $(X,\tau)$ es el espacio topológico, definimos un nuevo espacio $(X^*,\tau^*)$ con $X^*=X\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X y $\tau^*=\tau\cup\{X^*\}$. Tomamos como embebimiento de X en $X^*$ la inclusión.

Por otro lado, dado un espacio no compacto, la compactificación de Alexandrov es la topología definida en $X^*$ cuyos abiertos son, además de los de X, los complementarios en $X^*$ de conjuntos cerrados y compactos de X.

A veces, ambas compactificaciones ¡coinciden! Son los casos en los que el único conjunto cerrado de X es el conjunto vacío. Por tanto, de los nuevos abiertos en $X^*$, sólo hay uno: el complementario del vacío, que es $X^*$, obteniendo la topología $\tau^*$. Ejemplos han salido en clase:

1. Los números reales con la topología a derechas. Los números naturales con la topología que tiene por abiertos $A_n=\{1,\ldots,n\}$.
2. El intervalo abierto $(0,1)$ y los abiertos son los conjuntos de la forma $A_n=(0,1-\frac{1}{n})$.