Quiero hacer la siguiente observación sobre algunos espacios cocientes que ya hemos estudiado. La idea es que cuando se hace cociente de $R^n$ con una relación de equivalencia que viene dada por una "ecuación", parece que el espacio cociente tiene una "dimensión" que es n-(ligaduras). Me explico con los siguientes ejemplos (la palabra 'dimensión' la uso sin dar una definición, pero intuitivamente sabemos más o menos qué significa):
1. En R, la relación $x_1-x_2 \in Z$ da como cociente $S^1$. Aquí $R$ tiene dimensión 1, y $Z$ tiene dimensión 0, al ser un espacio discreto. Y $S^1$ tiene dimensión 1 al ser una curva. Aquí sería $1-0=1$.
2. En $R^2$ la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1-x_2 \in Z, y_1-y_2\in Z$. El cociente es un toro, que al ser una superficie tiene dimensión 2. Por otro lado $ZxZ$ es un conjunto discreto, luego tiene dimensión cero. Aquí sí funciona 2-0=2.
3. En $R^2$ se define la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1=x_2$. El espacio cociente es $R.$ Como la ligadura $x=x'$ es una recta en $R^2$, sería dimensión 1. Por tanto vale de nuevo la relación 2-1=1.
3. En $R^3$, se toma $pRq$ si $p=q$. Se probó que el espacio cociente es $[0,\infty)$. La ligadura $p=q$ define una superficie, por tanto, sería dimensión 2. De nuevo funciona la "fórmula": $3-2=1$.
4. En $R^2$, se considera $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1^2-y_1={x_2}^2-y_2$. Se vio que el cociente es $R$. La ligadura define una parábola, que tiene dimensión 1, al ser una curva. Por tanto, de nuevo sigue siendo cierta la "fórmula": 2-1=1.
¿Qué opináis? Podéis seguir poniendo ejemplos.
Otro ejemplo:
ResponderEliminarConsideramos R^2 y la relación de equivalencia: (x,y)R(x',y')<=>y-y'€Z,x=x'.
El espacio cociente es homeomorfo a S^1xR.
La dimensión de R^2 es 2.
La ligadura podriamos decir que es a su vez una intersección de ligaduras en la que Z al ser discreto es de dimensión cero, y x=x' define una recta en R^2 que es de dimensión 1,por lo que la intersección de ambas ligaduras sería de dimensión cero.
S^1xR es una superficie, por tanto, de dimensión dos.
Entonces 2-0=2
Sigue funcionando.
El ejemplo 3 se podría "generalizar" de la siguiente forma:
ResponderEliminarEn R^n se considera la relación de equivalencia (x1,...,xn)R(y1,...,yn) si x1=y1.
Entonces el espacio cociente es R.
La ligadura tiene dimensión n-1.
n-(n-1)=1 que es la dimensión de R.
Considerando X=[0,2] y A={0,1,2} podemos definir el espacio cociente X/A que es homeomorfo a la unión de la circunferencia de radio unidad centrada en (1,0) y a la circunferencia de radio unidad centrada en (-1,0).
ResponderEliminarAquí [0,2] tiene dimensión 1 y A tiene dimensión 0, ya que es un espacio discreto. Aplicando esta "fórmula" tendríamos 1-0 = 1, que coincide con la dimensión de la unión de las dos circunferencias.
Tendríamos así otro ejemplo.
Otro ejemplo donde vemos que también se verifica esta relación sería el siguiente:
ResponderEliminarTomamos X=({0}x[0,1])U({1}x[0,1]) y relacionamos el punto (0,0) con (1,0) y el punto (0,1) con (1,1). Se tiene que X/R es homeomorfo a S^1, donde R denota la relación de equivalencia descrita. Se observa que se verifica la "fórmula", X tiene dimensión 1, pues es unión de dos segmentos en R^2, la ligadura tiene dimensión 0, nos relaciona únicamente dos puntos con otros dos y obtenemos restando 1-0=1, que es la dimensión de S^1.