Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.
La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.
Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:
1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.
2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.
En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.
No hay comentarios:
Publicar un comentario