Seguimos con este juego de interior y frontera. Sabemos que dado un espacio espacio topológico $(X,\tau)$ y $A\subset X$ entonces $X$ es unión disjunta de $int(A)$, $Fr(A)$ y $ext(A)$. La cuestión que propongo en esta entrada es qué sucede si uno hace interior de $A$, luego la frontera de lo que ha dado, luego su exterior, luego el interior de este conjunto, y así sucesivamente. Por ejemplo, ¿llega un momento en que el conjunto resultante es siempre el mismo?
He empezado por interior, pero podíamos comenzar con la frontera, etc.
Por ejemplo, en la topología usual de R, $A=(0,1)$, su interior es $A$; la frontera de éste es $\{0,1\}$, el exterior de éste es $R-\{0,1\}$, el interior de este conjunto es de nuevo $R-\{0,1\}$; la frontera de éste es ahora $\{0,1\}$, su exterior, $R-\{0,1\}$. Por tanto, en este caso concreto, tenemos un sucesión oscilante.
Siguiendo con el mismo espacio topológico, si $A=\{0\}$, entonces su interior es el vacío; la frontera del vacío es vacío; el exterior es $R$; el interior de éste es $R$; la frontera, el vacío. De nuevo tenemos una sucesión oscilante.
¿Sucede lo mismo con cualquier conjunto y en cualquier espacio topológico?
He empezado por interior, pero podíamos comenzar con la frontera, etc.
Por ejemplo, en la topología usual de R, $A=(0,1)$, su interior es $A$; la frontera de éste es $\{0,1\}$, el exterior de éste es $R-\{0,1\}$, el interior de este conjunto es de nuevo $R-\{0,1\}$; la frontera de éste es ahora $\{0,1\}$, su exterior, $R-\{0,1\}$. Por tanto, en este caso concreto, tenemos un sucesión oscilante.
Siguiendo con el mismo espacio topológico, si $A=\{0\}$, entonces su interior es el vacío; la frontera del vacío es vacío; el exterior es $R$; el interior de éste es $R$; la frontera, el vacío. De nuevo tenemos una sucesión oscilante.
¿Sucede lo mismo con cualquier conjunto y en cualquier espacio topológico?
No hay comentarios:
Publicar un comentario