Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una aplicación y $A=\{(x,f(x));x\in\mathbb{R}\}$ la gráfica de $f$.
Se sabe que $int(A)=\emptyset$. Para esto no hace falta que $f$ sea continua. Sin embargo, $\overline{A}=A$ si $f$ es continua, y no es cierta la igualdad en general si la aplicación no es continua. El ejemplo es considerar la función $f$ dada por $\sin(1/x)$ si $x\not=0$ y $f(0)=0$. Entonces $A\not\subset \overline{A}$.
Consideramos ahora $A=\{(x,y);y>f(x), x\in\mathbb{R}\}$. Es conocido que si $f$ es continua, entonces $int(A)=A$. El ejercicio que propongo es buscar una función $f$ de forma que el conjunto $int(A)$ no sea $A$.
Se sabe que $int(A)=\emptyset$. Para esto no hace falta que $f$ sea continua. Sin embargo, $\overline{A}=A$ si $f$ es continua, y no es cierta la igualdad en general si la aplicación no es continua. El ejemplo es considerar la función $f$ dada por $\sin(1/x)$ si $x\not=0$ y $f(0)=0$. Entonces $A\not\subset \overline{A}$.
Consideramos ahora $A=\{(x,y);y>f(x), x\in\mathbb{R}\}$. Es conocido que si $f$ es continua, entonces $int(A)=A$. El ejercicio que propongo es buscar una función $f$ de forma que el conjunto $int(A)$ no sea $A$.
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