Este post está motivado por el comentario de Daniel en la anterior entrada.
Otro ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua pero no es homeomorfismo es el siguiente ejemplo 'simple'. Sea $X$ un conjunto con dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$ tal que $\tau_1\subset\tau_2$. Consideramos la aplicación identidad:
$$1_X:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1).$$
Esta aplicación es biyectiva y continua porque $\tau_1$ es menos fina que $\tau_2$. Sin embargo, la aplicación no es un homeomorfismo pues entonces se tendría $\tau_1=\tau_2$.
Otro ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua pero no es homeomorfismo es el siguiente ejemplo 'simple'. Sea $X$ un conjunto con dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$ tal que $\tau_1\subset\tau_2$. Consideramos la aplicación identidad:
$$1_X:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1).$$
Esta aplicación es biyectiva y continua porque $\tau_1$ es menos fina que $\tau_2$. Sin embargo, la aplicación no es un homeomorfismo pues entonces se tendría $\tau_1=\tau_2$.
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