Sobre homeomorfismos

Un comentario de la entrada anterior motiva ésta. Cuando se dice que un conjunto es abierto (o cerrado), está diciendo 'Un conjunto $A\subset X$ es abierto en el espacio topológico $(X,\tau)$ si...', es decir, un conjunto es abierto en.

 

El intervalo $(0,1)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$. Por otro lado:

1. El intervalo $(0,1)$ es abierto en $\mathbb{R}$ y no es cerrado.
2. El conjunto $\mathbb{R}$ es abierto y cerrado en $\mathbb{R}$.
3. El conjunto $\mathbb{R}\times\{0\}$, es decir, el eje de abcisas, es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$ y no es abierto.

Creo que estos ejemplos aclaran un poco la cuestión planteada al principio. Y por supuesto, no tiene nada que ver con el hecho de ser o no ser homeomorfos a....