La aplicación $f(x)=x^2$ es continua vista de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau_u$. Si uno hace la demostración como se le ha enseñado en la asignatura de Cálculo, tendría que probar que es continua en cada punto $x_0\in \mathbb{R}$. Para ello, dado $\epsilon>0$, habría que encontrar un $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|x^2-x_0^2|<\epsilon$. ¿Cuál es el valor de $\delta$?
"Pasando" de epsilons y deltas, veamos ahora el problema como un ejercicio de la asignatura de "Topología I", probando que es continua en $\mathbb{R}$. Para ello es suficiente probar que, dada una base de $\mathbb{R}$ (espacio codominio) la imagen inversa mediante $f$ de cada elemento de la base es un abierto en $\mathbb{R}$ (espacio dominio). Tomamos $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Entonces $$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} \emptyset&\mbox{si $b\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{si $a\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup (\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{si $0 < a $} \end{array}\right.$$
Por tanto, $f^{-1}((a,b))$ es abierto de $(\mathbb{r},\tau_u)$.
"Pasando" de epsilons y deltas, veamos ahora el problema como un ejercicio de la asignatura de "Topología I", probando que es continua en $\mathbb{R}$. Para ello es suficiente probar que, dada una base de $\mathbb{R}$ (espacio codominio) la imagen inversa mediante $f$ de cada elemento de la base es un abierto en $\mathbb{R}$ (espacio dominio). Tomamos $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Entonces $$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} \emptyset&\mbox{si $b\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{si $a\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup (\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{si $0 < a $} \end{array}\right.$$
Por tanto, $f^{-1}((a,b))$ es abierto de $(\mathbb{r},\tau_u)$.
Aquí dejo un enlace donde hay más ejemplos y otros ejercicios para practicar sobre este tema, espero que sea de utilidad:
ResponderEliminarhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001005/lecciones/cap3/cap3lec1.pdf