Decir que la continuidad es una 'cuestión local' significa que para estudiar la continuidad en un punto, basta con estudiar la función 'alrededor' de dicho punto. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación entre dos espacios topológicos y $x\in X$, entonces son equivalentes:
1. $f$ es continua en $x$.
2. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que $f:(U,\tau_{|U})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
3. Existe un abierto $O\in\tau$ con $x\in O$ tal que $f:(O,\tau_{|O})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
O dicho de otro modo, 'alrededor de $x$' quiere decir, en un 'entorno de $x$'. De entre los muchos ejemplos que se pueden poner sobre esta cuestión, propongo el siguiente.
Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ del punto incluido para $p=0$ y $f:(\mathbb{R},\tau)\rightarrow
(\mathbb{R},\tau)$ la aplicación dada por $f(x)=x+2$. Esta aplicación no es continua en ningún punto. Sin embargo, si tomamos $x=1$, y $V=(0,2)$, con $x\in V$, la aplicación $f:((0,2),\tau_{|V})\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es continua en todo punto, en particular, en $x=1$.
1. $f$ es continua en $x$.
2. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que $f:(U,\tau_{|U})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
3. Existe un abierto $O\in\tau$ con $x\in O$ tal que $f:(O,\tau_{|O})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
O dicho de otro modo, 'alrededor de $x$' quiere decir, en un 'entorno de $x$'. De entre los muchos ejemplos que se pueden poner sobre esta cuestión, propongo el siguiente.
Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ del punto incluido para $p=0$ y $f:(\mathbb{R},\tau)\rightarrow
(\mathbb{R},\tau)$ la aplicación dada por $f(x)=x+2$. Esta aplicación no es continua en ningún punto. Sin embargo, si tomamos $x=1$, y $V=(0,2)$, con $x\in V$, la aplicación $f:((0,2),\tau_{|V})\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es continua en todo punto, en particular, en $x=1$.
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