martes, 15 de noviembre de 2011

La continuidad es una cuestión local

Decir que la continuidad es una 'cuestión local' significa que para estudiar la continuidad en un punto, basta con estudiar la función 'alrededor' de dicho punto. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación entre dos espacios topológicos y $x\in X$, entonces son equivalentes:

1. $f$ es continua en $x$.
2. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que $f:(U,\tau_{|U})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
3. Existe un abierto $O\in\tau$ con $x\in O$ tal que $f:(O,\tau_{|O})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.

O dicho de otro modo, 'alrededor de $x$' quiere decir, en un 'entorno de $x$'. De entre los muchos ejemplos que se pueden poner sobre esta cuestión, propongo el siguiente.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ del punto incluido para $p=0$ y $f:(\mathbb{R},\tau)\rightarrow
(\mathbb{R},\tau)$ la aplicación dada por $f(x)=x+2$. Esta aplicación no es continua en ningún punto. Sin embargo, si tomamos $x=1$, y $V=(0,2)$, con $x\in V$, la aplicación $f:((0,2),\tau_{|V})\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es continua en todo punto, en particular, en $x=1$.

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