Pongo un ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua, pero no es homeomorfismo. Para ello tomo $X=[0,2\pi)$ e $Y=S^1$. Tomamos la aplicación $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$. Esta aplicación es continua y es biyectiva.
Sin embargo, la inversa de $f$ no es continua. Para ello, tomamos una sucesión de puntos $\{x_n\}\subset S^1$ que se aproxima a $(1,0)$ por debajo, es decir, puntos que pertenecen al cuarto cuadrante. Entonces la sucesión $\{f^{-1}(x_n)\}$ no es convergente: en verdad converge en $[0,2\pi]$, pero no en nuestro espacio topológico $X$. Debería de haber convergido a $x=0$, pues $f^{-1}((1,0))=0$.
Propongo que dejéis más ejemplos.
Sin embargo, la inversa de $f$ no es continua. Para ello, tomamos una sucesión de puntos $\{x_n\}\subset S^1$ que se aproxima a $(1,0)$ por debajo, es decir, puntos que pertenecen al cuarto cuadrante. Entonces la sucesión $\{f^{-1}(x_n)\}$ no es convergente: en verdad converge en $[0,2\pi]$, pero no en nuestro espacio topológico $X$. Debería de haber convergido a $x=0$, pues $f^{-1}((1,0))=0$.
Propongo que dejéis más ejemplos.
Aqui un ejemplo: sea $\mathbb{R}_{u}$ los reales con topologia usual y $\mathbb{R}_{\ell}$ la recta de Sorgenfrey. Entonces la aplicacion identidad $id: \mathbb{R}_{l} \rightarrow \mathbb{R}_{u}$ ya continua ya que la topologia del limite inferior es mas fina que la topologia usual. Claramente es biyectiva, sin embargo no es un homeomorfismo. Por ejemplo, la recta de Sorgenfrey no tiene una base numerable mientras que $\mathbb{R}_{u}$ es segundo numerable.
ResponderEliminarEfectivamente, ése es un nuevo ejemplo, que comento en el siguiente post. En este caso particular, no hace falta usar invariantes topológicos para distinguir las topologías, pues la aplicación identidad entre un espacio $(X,\tau_1)$ y $(X,\tau_2)$ es homeomorfismo si y sólamente si las topologías coinciden.
ResponderEliminarPor supuesto. Sin embargo, pensando a futuro, es util tener presente los invariantes topologicos. Mas adelante propondremos ejercicios en el cual es crucial clasificar las clases de homeomorfismo de ciertos subconjuntos, con ciertas propiedades, de un espacio dado.
ResponderEliminarEn temas posteriores veremos que es posible caracterizar las aplicaciones continuas de $\mathbb{R}_{u} \rightarrow \mathbb{R}_{\ell}$ incluso podremos reemplazar $\mathhbb{R}_{u}$ por cualquier espacio $(X,\tau)$ con "ciertas" propiedades que se veran en temas posteriores.