Homeomorfismo de un espacio en un subconjunto

Sabemos que ${\mathbb R}$ es homeomorfo al intervalo $(0,1)$, que es un subconjunto suyo. Esta propiedad no es única de la recta euclídea, y podemos ver otros espacios topológicos con dicha propiedad.

En ${\mathbb R}$ consideramos la topología discreta y sea $X$ el conjunto de los irracionales también con la topología discreta. Ya que ${\mathbb R}$ y $X$ son biyectivos, la misma biyección es un homeomorfismo.

En ${\mathbb N}$ tomamos la topología de los complementos finitos y sea $X$ el conjunto de los números pares con la topología relativa, que es de nuevo, la topología de los complementos finitos. Entonces cualquier biyección entre ${\mathbb N}$ y $X$ es un homeomorfismo.

Consideramos ${\mathbb Z}$ con la topología trivial, y ${\mathbb N}$ con la topología relativa, que también es la topología trivial. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb N}$ es un homeomorfismo.

Sea ${\mathbb R}$ con la topología de los complementos finitos y sea $X=(0,\infty)$ con la topología relativa. Entonces la aplicación $f(x)=e^x$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y $(0,\infty)$ ya que es una aplicación creciente.