Ya hemos insistido que para probar que no dos espacios topológicos no son homeomorfos, hay que encontrar invariantes topológicos que satisfaga un espacio y no el otro. Pero uno podría pensar que otra forma sería probar directamente que no existen homeomorfismos entre un espacio y otro.
Me he planteado, en un caso sencillo, esta cuestión y no veo que sea fácil hacerlo sin echar de mano del concepto de invariante topológico. Por ejemplo, cojamos X=[0,1) e Y=(0,1). La idea es, por reducción al absurdo, suponer que existe un homeomorfismo f:X\rightarrow Y y llegar a una contradicción. Sabemos que el invariante topológico que se usa aquí para probar que no son homeomorfos es la conexión, pero ¿se podría llegar a una contradicción trabajando directamente con f? Es claro a raíz del argumento con conexión, que uno tiene que focalizar el trabajo entre x=0 y su imagen mediante f.
Sea x_0=f(0), el cual sabemos que satisface $0
Y aquí me quedo...
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