Sobre la entrada de ayer

En la entrada anterior dije que era posible establecer un homeomorfismo de $(0,1)$ en sí mismo que me llevara $x_0\in (0,1)$ en $1/2$. Me quedé un poco parado ayer pensando si era cierto o no, pero sí es posible hacerlo. Si imaginamos el intervalo $(0,1)$ como un trozo de goma, o de plastilina, es claro que uno podría 'estirar' más de un lado que de otro hasta llevar $x_0$ en $1/2$ (o donde uno quiera).

Concretamente, el ejercicio es: sean $x,y\in(0,1)$. Entonces existe un homeomorfismo $f:(0,1)\rightarrow (0,1)$ tal que $f(x)=y$. Para ello, se considera los intervalos $(0,x]$ y $(0,y]$. Se sabe de clase que son homeomorfos y además, es posible tomar el homeomorfismo $g:(0,x)\rightarrow (0,y)$ tal que $g(x)=y$: basta con tomar $g(t)=yt/x$. Del mismo modo, sea $h:[x,1)\rightarrow [y,1)$ otro homeomorfismo con $h(x)=y$.

El homeomorfismo $f$ que se busca se define a trozos como: $f(t)=g(t)$ si $t\in (0,x]$ y $f(t)=h(t)$ si $t\in [x,1)$. Obsérvese que los conjuntos $(0,x]$ y $[x,1)$ son ambos conjuntos cerrados en $(0,1)$; también que $f$ está bien definida en $t=x$ ya que $g(x)=h(x)=y$; y por supuesto, que $f(x)=y$.